Integral de$(\log x)^3$ (Cálculo de Spivak, Capítulo 19, Problema 3v)

Question

$$\int (\log x)^3\,dx$$

He resuelto el problema aplicando integración por partes dos veces:

En primer lugar, escribo el integrando como $(\log x)^2\cdot\log x$, y luego me puse a$u=(\log x)^2 \Rightarrow du=\frac{2\log x}{x}dx$$dv=\log x\,dx \Rightarrow v=x\log x-x$:

$$\begin{align}\int (\log x)^2\cdot\log x\,dx&=x(\log x)^3-x(\log x)^2-\left(\int \frac{2\log x}{x}(x\log x-x)\,dx\right)\\&=x(\log x)^3-x(\log x)^2-\left(\int 2(\log x)^2\,dx-\int 2\log x\,dx\right)\\&=x(\log x)^3-x(\log x)^2-2\int (\log x)^2\,dx+\underbrace{\int 2\log x\,dx}_{=\,2x\log x-2x} \end{align}$$

Ahora, la integral de $(\log x)^2$ se debe resolver por integración por partes. Me puse a$u=\log x\Rightarrow du=\frac{dx}{x}$$dv=\log x\,dx\Rightarrow v=x\log x-x$:

$$\begin{align}\int (\log x)^2\,dx&=x(\log x)^2-x\log x-\left(\int \frac{x\log x-x}{x}\,dx\right)\\&=x(\log x)^2-x\log x-\left(\int \log x\,dx-\int dx\right)\\&=x(\log x)^2-x\log x-(x\log x-2x)\\&=x(\log x)^2-2x\log x+2x\end{align}$$

Sustituyendo el resultado de $\int (\log x)^2\,dx$ la solución:

$$\begin{align}\int (\log x)^2\cdot\log x\,dx&=x(\log x)^3-x(\log x)^2-2(\overbrace{x(\log x)^2-2x\log x+2x}^{\,=\int\,(\log x)^2dx})+2x\log x-2x\\&=x(\log x)^3-x(\log x)^2-2x(\log x)^2+4x\log x-4x+2x\log x-2x\\&=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+6x\log x-6x\end{align}$$

Por lo tanto, $$\int (\log x)^3\,dx=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+6x\log x-6x$$

(He omitido el molesto $+C$ en mis cálculos)

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma más elegante y la más rápida solución?

Answer 1

Dando$x = e^y$ #%, dando$dx = e^y \, dy$$$\int (\log x)^3 \, dx = \int y^3 e^y \, dy.$$ Now use tabular integration: $$\begin{array}{|cc|c|} \hline y^3 & e^y & + \\ 3y^2 & e^y & - \\ 6y & e^y & + \\ 6 & e^y & - \\ \hline \end{array}$% .

---

Otro ejemplo de integración tabular: calcular$ to obtain $$\int y^3 e^y \, dy = y^3 e^y - 3y^2 e^y + 6y e^y - 6 e^y + C.$$ Substituting back for $$$\int (x^4 + x^2) e^{-3x} \, dx.$$ We write $ $

Answer 2

Yo no lo llamaría necesariamente el más rápido o el más elegante, pero es sin duda una alternativa de solución, y los que están siempre bueno saber.

Esta usa Feynman el truco de la diferenciación bajo el signo integral después de la introducción de un parámetro arbitrario (como se menciona en un episodio reciente de la serie de TELEVISIÓN "The Big Bang Theory", si estás en ese tipo de cosas).

Comienza con la sustitución de $y = \log x$, con lo que la integral de la $\displaystyle \int y^3 e^y dy$.

Introducir $\displaystyle I(n,y) = \int e^{ny} dy$ y observar que la integral original es $\displaystyle \frac{\partial^3}{{\partial n}^3} I(n,y)$ evaluado en $n=1$.

Todo lo que queda es trabajar en eso.

Empezar con $\displaystyle I(n,y) = \frac{1}{n}e^{ny} + c$ y evaluar la tercera derivada parcial wrt $n$.

Usted va a terminar con la misma respuesta. Algebraicamente, no estoy seguro de si se ahorra más trabajo, pero me parece que repite la diferenciación ligeramente más fácil que repetir integración por partes. En cualquier caso, pensé que te gustaría este ligeramente enfoque poco convencional.

Answer 3

Sí, hay (Pero supongo que es la misma cantidad de trabajo). Poner $z = \log x $. Entonces, la integral se convierte en

$$ \int z^3 e^z dz $$

También puede utilizar la integración por partes para resolver este problema. Sin embargo, me gustaría mostrarles otra técnica. Escribir

$$ \int z^3 e^z dz = (Az^3 + Bz^2 + Cz + D)e^z $$

Aplicar el teorema fundamental del cálculo y el producto de la regla y encontrar el coeficients $A,B,C,D$. En general, si usted tiene una integral de la forma

$$ \int P_n(x) e^x dx $$

donde $P_n(x) $ es un polinomio de grado $n$, que se supone que la integral se tiene el siguiente formulario:

$$ Q_n(x) e^x $$

donde de nuevo $Q_n$ es un polinomio de grado $n$. Una vez más, aplicar el teorema fundamental del cálculo para obtener sus coeficientes.