Supongamos que $f$ es $2\pi$ continua y $C^1$ tal que $\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=0$ .

Question

Demostrar que $\int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2 dx \leq \int_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^2 dx$ .

Así que este es mi enfoque a esta pregunta:

Supongamos que $f$ fue $2\pi$ continua y $C^1$ . Por lo tanto, tenemos que $s_n(f)$ converge uniformemente a $f$ . Así que dejemos $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx))$ . Dado que se nos da $\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$ tenemos que $a_0 = 0$ . Ahora encontramos $f'$ en términos de coeficientes de $f$ :

$$f'(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (n b_n \cos(nx) - n a_n \sin (nx))$$

Tenemos que todas las funciones propias son ortogonales en $[-\pi, \pi]$ y $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) dx = \pi = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) dx$

Así que por la identidad de Parseval, tenemos eso:

$$\int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2 dx = \pi \sum_{n=1}^{\infty} (a^2_n +b^2_n)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^2 dx = \pi \sum_{n=1}^{\infty} n^2 (a^2_n +b^2_n)$$

Está claro que $n^2 \geq 1$ para todos $n \in \mathbb{N}$ Así que tenemos eso:

$$\int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2 dx = \pi \sum_{n=1}^{\infty} (a^2_n +b^2_n)\leq \pi \sum_{n=1}^{\infty} n^2 (a^2_n +b^2_n) = \int_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^2 dx $$

Por alguna razón siento que hay algo mal en esto. Pero no puedo poner el dedo en la llaga. ¿Hay un mejor enfoque para esto?

Answer 1

Su solución es correcta. Pero el hecho de que $s_n(f)\to f$ uniformemente no es particularmente relevante: para $f'$ no tiene tal convergencia, ni siquiera la convergencia puntual en general, sin embargo las series para ambos $f$ y $f'$ se utilizan de la misma manera. El hecho importante es que ambas funciones son integrables al cuadrado y sus coeficientes de Fourier están relacionados.

Además, sería más corto si usaras la forma compleja de la serie de Fourier. De forma más general, la desigualdad es válida para funciones de valor complejo de la forma $$\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \,dx \leq \int_{-\pi}^{\pi} |f'(x)|^2\, dx$$ De hecho, si $f(x)\sim \sum_{n\in\mathbb Z}c_n e^{inx}$ entonces $f'(x)\sim \sum_{n\in\mathbb Z}in c_n e^{inx}$ y como $|c_n|\le |inc_n|$ para todos $n$ (gracias a $c_0=0$ ), la conclusión se desprende de la identidad de Parseval.