Ejemplo de los multiplicadores de Lagrange

Question

Minimizar$$f(x,y) = x^2+y^2$$ subject to the constraint $ xy = 3 $.

Sé que la fórmula para que los multiplicadores de Lagrange sean$\nabla f = \lambda \nabla g$ así que obtenemos un sistema de ecuaciones como este$$\begin{cases}f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \end{cases}$ $ Sin embargo, eso me da$2$ ecuaciones, pero$3$ variables. No sé qué hacer desde aquí.

Answer 1

SUGERENCIA: Utilice$$\begin{cases} f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \\ xy = 3\end{cases} $$ Note that $ f_x = 2x, f_y = 2y, g_x = y, g_y = x $.

Answer 2

Aquí hay otro enfoque para la diversión. Podemos usar la media AM-GM:$$\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2},\quad \text{for all}\ a,b\geq 0$ $ donde la igualdad se mantiene si y sólo si$a=b$. Utilice$a=x^2,\ b=y^2$ para obtener:$$\sqrt{x^2y^2}\leq \frac{x^2+y^2}{2},$ $ y nuestro mínimo será donde$x=y$. Esto implica$x=y=\pm\sqrt{3}$ y por lo tanto:$$2\sqrt{(xy)^2} = 2|xy| = 6\leq x^2+y^2,$ $ para todo$x,y\in\mathbb{R}$ tal que$xy=3$.

Answer 3

También hay una solución geométrica: el gráfico de$xy=3$ es una hipérbola rectangular, así que tendremos que encontrar los puntos más cercanos de la hipérbola desde el origen.