Serie infinita de funciones hipergeométricas

Question

Cualquier idea de cómo encontrar una forma cerrada para la suma dada por: $ \ sum ^ \ infty_ {n = 0} \ frac {1} {n!} \ Frac {a ^ nb ^ {n m}} { M n) ^ 2 \ Gamma (m n)} {} _2F_2 \ izquierda (m n, m n; m n 1, m n 1;

Dado que tanto$a$ como$b$ son números reales positivos, y$m$ es un entero positivo distinto de cero.

Answer 1

$\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}\dfrac{a^nb^{n+m}}{(m+n)^2\Gamma(m+n)}{_2F_2}\left(m+n,m+n;m+n+1,m+n+1;-b\right)$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{a^nb^{n+m}\Gamma(m+n)(m+n)_k(m+n)_k(-b)^k}{\Gamma(m+n+1)\Gamma(m+n+1)n!(m+n+1)_k(m+n+1)_kk!}$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{\Gamma(n+k+m)\Gamma(n+k+m)(-1)^ka^nb^{n+k+m}}{\Gamma(n+m)\Gamma(n+k+m+1)\Gamma(n+k+m+1)n!k!}$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{m\Gamma(m+1)(m)_{n+k}(m)_{n+k}(-1)^ka^nb^{n+k+m}}{(m)_n(m+1)_{n+k}(m+1)_{n+k}n!k!}$

$=b^mm!m\mathrm{F}^{2:0;0}_{2:1;0}\Bigg(\begin{matrix}m,m&:&-&;&-&\\m+1,m+1&:&m&;&-&\end{matrix}\Bigg|ab,-b\Bigg)$