red de subgrupo

Question

Siguiendo el espíritu de la teoría de las categorías, utilizamos las relaciones entre los objetos para describir el objeto mismo. En el mismo sentido, quiero utilizar la estructura reticular de los subgrupos para decidir si un subgrupo es normal. Sabemos que si $H \lhd G$ y $K \subset G$ entonces existe una biyección que preserva la red desde los subgrupos de $K$ que contiene $H \cap K$ a subgrupos de $HK$ que contiene $H$ . Esto nos da una descripción categórica de la normalidad.

Mi pregunta es: ¿Se cumple lo contrario? Es decir, si para cada $K \subset G$ esta biyección también es válida, debe $H$ ser normal en $G$ ? (Aquí necesitamos una modificación: $HK$ debe ser sustituido por $\langle H, K \rangle$ .)

Answer 1

Es imposible identificar los subgrupos normales de $G$ simplemente mirando el entramado de subgrupos de $G$ .

Como ejemplo, tomemos el grupo no abeliano más sencillo, $S_3$ . Su red de subgrupos está formada por $S_3$ en la parte superior, el grupo trivial $\{e\}$ en la parte inferior, y cuatro grupos intermedios: $A_3$ que se genera por la permutación $(123)$ y el $2$ -subgrupos de elementos generados por $(12)$ , $(13)$ y $(23)$ respectivamente. Dos subgrupos intermedios cualesquiera tienen unión $S_3$ y conocer $\{e\}$ por lo que el mapa que intercambia dos de ellos es un isomorfismo de red. Es decir, son indistinguibles como elementos de la red. Pero $A_3$ es normal, mientras que los otros tres no lo son.

Answer 2

Incluso después de leer la bonita respuesta de Alex Kruckman, el OP podría seguir preguntándose si la estructura de una red de subgrupos podría dar algunos información sobre la ubicación, o el número, de los subgrupos normales. En general, no puede.

Por ejemplo, existe un grupo abeliano con el mismo entramado de subgrupos que el del ejemplo de Alex, es decir, el grupo $\mathbb Z/3 \times \mathbb Z/3$ . Por supuesto, todos los subgrupos son normales en este caso (a diferencia del ejemplo de Alex).

Por otro lado, ciertamente hay casos especiales en los que la red de subgrupos nos dice qué subgrupos son normales, pero normalmente eso es una consecuencia de que la estructura de la red nos dice mucho más. Por ejemplo, el grupo $A_4$ puede ser identificada de forma única por su red de subgrupos. Es decir, ningún otro grupo tiene la misma red de subgrupos. Y en ese caso, sabemos que el único subgrupo normal propio no trivial resulta ser la cima del $M_3$ de la red de subgrupos de $A_4$ (pero se trata de una información "a priori", no la hemos obtenido directamente de la estructura de la red).

Como otro ejemplo trivial, cuando una red de subgrupos es una cadena, cada subgrupo es normal. En este caso puede deducir esta información de la forma de la red de subgrupos. (Si alguno de los subgrupos no fuera normal, tendría subgrupos conjugados a la misma altura en la red).

Hay muchos más ejemplos como éstos, y mucho más que decir sobre qué propiedades de un grupo pueden deducirse de la estructura de su red de subgrupos. Véase el libro de Roland Schmidt "Subgroup Lattices of Groups".