Mostrar un conjunto está totalmente desconectado

Question

Por lo tanto, estamos considerando el subconjunto

$$ S = \{(x, y) \in \mathbb{R^2} | (x \text{ and } y \in \mathbb{Q}) \text{ or } (x \text{ and } y \notin \mathbb{Q})\} $$

Y de considerar su complementar $$ T = \mathbb{R^2} \backslash S $$

El conjunto T se desconecta, en realidad estoy bastante seguro de que es totalmente desconectados. Solo estoy teniendo problemas para mostrar que rigurosamente. Yo estaba tratando de mostrar que el uso de líneas rectas, pero creo que no estaba llegando a ningún lado. Sé que una totalmente desconectado del conjunto de sólo conjuntos conectados son el punto de conjuntos. He estado tratando de demostrar que dados dos puntos arbitrarios, que exista una separación entre ellos. Es más difícil ya que este es en el plano.

Cualquier alusión a todos sería una gran ayuda. Tal vez yo voy a hacer montañas de granos de arena.

Answer 1

Yo había escrito una solución completa, pero ya que esta es la tarea, he eliminado y reemplazado con esta sugerencia.

Una manera de demostrar que $T$ está totalmente desconectada, es para mostrar que siempre $p$ $q$ son distintos puntos de $T$, luego están abiertas conjuntos de $A$ $B$ $\mathbb{R}^2$ tal que $T\subseteq A\cup B$, $(A\cap B)\cap T=\emptyset$, $p\in A$, y $q\in B$. Esto le mostrará que hay una desconexión de $T$ que $p$ $q$ están en distintos componentes. En particular, $p$ $q$ no puede estar en el mismo componente conectado de $T$. Si esto es válido para todos los pares de puntos a $p$$q$, entonces los componentes conectados de $T$ debe ser de una sola puntos.

Así, elija dos puntos distintos $p$$q$$T$. Trate de encontrar una línea que está contenida totalmente en $S$ y que separa a $p$$q$. Una forma de lograr una línea completamente contenida en $S$ es tener que ir a través de un punto racional racional de la pendiente. A continuación, tire de la línea para obtener su dos conjuntos de $A$$B$.