Definiciones contradictorias de la "continuidad" de las funciones de valor ordinal en los ordinales

Question

He encontrado la siguiente definición en Kunen, Levy y otros lugares: Una función $\mathbf{F}:\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ es continuo si para cada ordinal límite $\lambda$ tenemos $\mathbf{F}(\lambda)=\sup\{\mathbf{F}(\alpha):\alpha<\lambda\}$ . Diré que tal $\mathbf{F}$ son ordinariamente continuo .

Si consideramos $\mathbf{ON}$ en la topología de orden, esta definición de continuo coincide con la continuidad topológica para los no decrecientes $\mathbf{F}:\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ . Sin embargo, si eliminamos ese requisito, hay funciones que son ordinalmente continuas, pero no topológicamente continuas, y viceversa. Por ejemplo, si definimos $$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases}0 & \text{if }\xi=2\!\cdot\! n\!+\!1\text{ for some }n<\omega\\\xi & \text{otherwise}\end{cases}\qquad\text{and}\qquad\mathbf{G}(\xi)=\begin{cases}\omega+1 & \text{if }\xi=0\\\omega & \text{if }0<\xi<\omega\\\xi & \text{otherwise,}\end{cases}$$ entonces $\mathbf{F}$ es ordinalmente pero no topológicamente continua, y $\mathbf{G}$ es topológicamente pero no ordinariamente continua.

Antes de proceder a formular mi pregunta, permítame aclarar una cosa. Cuando hablo de una "topología" en $\mathbf{ON}$ No estoy hablando de algo que exista formalmente en ZF(C), ya que tal criatura sería una clase de clases (a veces propias). En su lugar, describiremos "topologías" en $\mathbf{ON}$ indirectamente como sigue. Diremos que una clase $\mathbf{B}$ de conjuntos de ordinales es un clase de base si $$\forall U\!,V\!\!\in\!\mathbf{B}\;\forall\alpha\!\in\! U\cap V\;\exists W\!\!\in\!\mathbf{B}\;(\alpha\in W\subseteq U\cap V).$$ Dada una clase de base $\mathbf{B}$ diremos que una subclase $\mathbf{M}$ de $\mathbf{ON}$ es "( $\mathbf{B}$ -)abierto" si se cumple una de las siguientes condiciones:

(i) $\mathbf{M}=\mathbf{ON}$

(ii) $\forall\alpha\!\in\!\mathbf{M}\;\exists U\!\in\!\mathbf{B}\;(\alpha\!\in\!U\!\subset\!\mathbf{M}).$

Para saber más sobre por qué he elegido estas definiciones concretas de clase base y apertura, véase este puesto .

Pregunta : ¿Existe una manera de "topologizar" $\mathbf{ON}$ tal que las funciones ordinalmente continuas $\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ son precisamente las funciones topológicamente continuas $\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ ? Si es así, ¿cuál es un ejemplo? Si no, ¿cómo se puede demostrar que no hay manera?

Nota: : Al considerar $\mathbf{ON}$ en la topología de orden, los ordinales límite y los puntos límite son idénticos. Por supuesto, sería ideal encontrar una topología en la que esto todavía se mantuviera y en la que las funciones topológicamente continuas y las ordinalmente continuas fueran las mismas, pero yo seguiría estando interesado en cualquier topología que satisficiera sólo esto último.

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Objetivos actuales : (A) Me gustaría generalizar el resultado de Brian M. Scott de abajo a otros ordinales límite. En otras palabras, suponiendo que $\mathbf{ON}$ ha sido "topologizado" de tal manera que "ordinalmente continuo" y "topológicamente continuo" son idénticos, me gustaría determinar para qué ordinales límite $\lambda$ podemos concluir que $[0,\lambda]$ está contenida en todas las clases abiertas que contienen $\{\lambda\}$ . (Brian demostró que esta propiedad se mantiene para $\lambda=\omega$ . ¿Se cumple esto para todos los ordinales límite $\lambda$ ? Sólo cuando $\lambda$ ¿es un aleph? Sólo cuando $\lambda$ ¿es un aleph normal? Sólo cuando $\lambda=\omega$ ? ¿Sólo cuando [rellene el espacio en blanco adecuadamente]?

(B) Me gustaría encontrar un contraejemplo similar a $\mathbf{B}_1$ (de mi respuesta más abajo) satisfaciendo la condición de que los puntos límite y los ordinales límite son idénticos.

Si puedes ayudarme con (A) o (B), pero aún no respondes a mi pregunta general, házmelo saber y haré una nueva pregunta para que la respondas. (Incluso te daré una parte de la recompensa ofrecida por esta pregunta, si es una buena respuesta).

Answer 1

Se define la clase $\mathcal{C} := \{F: {\bf ON}\to {\bf ON}: \forall \mbox{ limit } \lambda \; F(\lambda) = \sup(F(\alpha) | \alpha < \lambda)\}$ . Y usted pregunta: ¿hay una topología $T$ en los ordinales tales que $\mathcal{C}$ contiene exactamente las funciones continuas en $T$ ?

En cualquier topología, si $f$ y $g$ son continuas, entonces también lo es su composición $g \circ f$ . Los siguientes son en $\mathcal{C}$ :

$$f: \alpha \mapsto \begin{cases} {2\alpha} \quad\mbox{if } \alpha < \omega ,\\ \alpha \quad\text{otherwise}; \end{cases}$$

$$g: \alpha \mapsto \begin{cases}0 \quad \mbox{if } \alpha < \omega \text{ and $\alpha$ is even} ,\\ \alpha \quad \text{otherwise}. \end{cases}$$ (En inglés, $f$ duplica los números finitos, $g$ aniquila los números pares finitos, y en cualquier otro lugar son el mapa de identidad).

Sin embargo, la composición $g \circ f (\alpha)$ toma valor $0$ para un número finito de $\alpha$ , pero el valor $\omega$ en $\alpha = \omega$ . Por lo tanto, no radica en $\mathcal{C}$ . Por lo tanto, $\mathcal{C}$ no puede contener exactamente las funciones continuas de cualquier topología.

Answer 2

No se puede hacer si se requieren los elementos de la topología (que no sean $\mathbf{ON}$ por supuesto) para que sean conjuntos.

Si $\omega$ es un punto aislado, la función

$$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases} 0,&\text{if }\xi<\omega\\ \xi&\text{if }\xi\ge\omega \end{cases}\tag{1}$$

es topológicamente continua pero no ordinalmente continua, por lo que se supone que $\omega$ no es un punto aislado. Supongamos que $\omega$ tiene un nbhd abierto $V$ disjuntos de un infinito $A\subseteq\omega$ , donde $V$ es un conjunto. Sea $\lambda$ sea un ordinal límite mayor que cualquier elemento de $V$ y que $\{a_n:n\in\omega\}$ sea una enumeración creciente de $A$ . Entonces

$$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases} a_\xi,&\text{if }\xi\in \omega\\\ \omega,&\text{if }\xi=\omega\\ \lambda+\xi,&\text{if }\xi>\omega \end{cases}$$

es ordinariamente continua pero no topológicamente continua: $\mathbf{F}^{-1}[V]=\{\omega\}$ .

Supongamos ahora que $\omega\setminus V$ es finito para cada nbhd $V$ de $\omega$ pero hay una $n\in\omega$ y un nbhd $V$ de $\omega$ tal que $n\notin V$ . Dejemos que $\lambda$ sea como antes. Entonces

$$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases} n,&\text{if }\xi\in\omega\text{ is even}\\ \xi,&\text{if }\xi\in \omega\text{ is odd}\\ \omega,&\text{if }\xi=\omega\\ \lambda+\xi,&\text{if }\xi>\omega \end{cases}$$

es ordinariamente pero no topológicamente continua.

La única posibilidad que queda es que cada nbhd de $\omega$ contiene $[0,\omega]$ . En ese caso $(1)$ no es ordinalmente continuo, pero si no es topológicamente continuo, entonces tampoco lo es el mapa de identidad.

Añadido: Como demuestra Cameron con los ingeniosos ejemplos de su respuesta, mis afirmaciones primera y cuarta son falsas. (Sospecho que inconscientemente sólo pensaba en $T_1$ topologías, aunque incluso eso puede no ser suficiente para salvarlas). Para garantizar la continuidad topológica de $(1)$ Debería haber asumido no sólo que el punto $\omega$ es un punto aislado, pero que el conjunto $\omega$ es clopen. Entonces, si $0\notin V$ , $\mathbf{F}^{-1}[V]=V\setminus\omega$ y si $0\in V$ , $\mathbf{F}^{-1}[V]=V\cup\omega$ , ambos abiertos si $V$ es.

(Seguramente tendré más luego).

Answer 3

Considere las clases $$\mathbf{B}_0=\bigl\{\{0\},\{\omega\}\bigr\}\cup\bigl\{\{\alpha,\omega\}:0<\alpha<\omega\bigr\}\cup\bigl\{\{0,\alpha\}:\alpha>\omega\bigr\}$$ y $$\mathbf{B}_1=\bigl\{\{0\}\bigr\}\cup\bigl\{\{\alpha+1\}:\alpha>0\bigr\}\cup\bigl\{[0,\omega\cdot 2\cdot\beta):\beta>0\bigr\}.$$ Ambas clases tienen la agradable propiedad de que para cada $\alpha$ Hay un $\subseteq$ -Menos conjunto $V$ en la clase tal que $\alpha\in V$ , lo que es suficiente para demostrar que son clases de base como se definió anteriormente.

En la "topología" inducida por $\mathbf{B}_0$ vemos que $0,\omega$ son (los únicos) puntos aislados, por lo que con $\mathbf{F}$ como en $(1)$ de la respuesta de Brian, vemos que $\mathbf{F}^{-1}\bigl[\{0\}\bigr]=\omega$ no está abierto, ya que (por ejemplo) no contiene ningún nbhd de $1$ (como $\omega\notin\omega$ ), pero $\{0\}$ está abierto, por lo que $\mathbf{F}$ no es topológicamente continua, aunque $\omega$ está aislado.

En la "topología" inducida por $\mathbf{B}_1$ vemos que los puntos aislados son precisamente $0$ y los ordinales sucesores distintos de $1$ --por lo que casi tiene la propiedad "punto límite si límite ordinal"--y el $\subseteq$ -menos nbhd de $\omega$ es $[0,\omega\cdot 2)$ por lo que cada nbhd de $\omega$ contiene $[0,\omega]$ . Pero $[0,\omega\cdot 2)$ es también el $\subseteq$ -menos nbhd de $1$ Así que de nuevo, $\mathbf{F}^{-1}\bigl[\{0\}\bigr]=\omega$ no está abierto, y por la misma razón, aunque $\{0\}$ está abierto, por lo que $\mathbf{F}$ no es continua. Sin embargo, la función de identidad $\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ es continua--necesariamente, ya que es un homeomorfismo, como un mapa abierto biyectivo que es su propia inversa.

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De la respuesta de Brian, podemos concluir ciertamente que las condiciones necesarias para una topología del tipo que busco son que (1) $\omega$ está aislado o (2) $\omega$ es un punto límite y cada nbhd de $\omega$ contiene $[0,\omega]$ . Eso reduce sustancialmente mis opciones, así que, de nuevo, quiero agradecer a Brian M. Scott su respuesta. Ninguna de estas topologías satisface "topológicamente continua si es ordinariamente continua". De hecho, en ambos casos, ninguna de las dos continuidades implica la otra. Definiendo $$\mathbf{F}_0(\xi)=\begin{cases}\omega & \text{if }\xi=0\\0 & \text{if }0<\xi<\omega\\\xi & \text{otherwise}\end{cases}\qquad\text{and}\qquad\mathbf{G}_0(\xi)=\begin{cases}0 & \text{if }0<\xi\le\omega\\\omega & \text{otherwise,}\end{cases}$$ vemos que, en la "topología" inducida por $\mathbf{B}_0$ , $\mathbf{F}_0$ es ordinalmente pero no topológicamente continua, y $\mathbf{G}_0$ es topológicamente pero no ordinariamente continua. Definición de $$\mathbf{F}_1(\xi)=\begin{cases}\omega\cdot 2 & \text{if }\xi=0\text{ or }\xi=\omega\\0 & \text{if }0<\xi<\omega\\\xi & \text{otherwise}\end{cases}\qquad\text{and}\qquad\mathbf{G}_1(\xi)=\begin{cases}\omega\cdot 2 & \text{if }\xi=1\text{ or }\xi=\omega\\\omega\cdot 2+\xi & \text{if }\xi\ge\omega\cdot 2\\0 & \text{otherwise,}\end{cases}$$ vemos que, en la "topología" inducida por $\mathbf{B}_1$ , $\mathbf{F}_1$ es ordinalmente pero no topológicamente continua, y $\mathbf{G}_1$ es topológicamente pero no ordinariamente continua. Si no puedes ver por qué uno o más de los $4$ Si las afirmaciones anteriores son ciertas, hágamelo saber y daré la(s) justificación(es).