Let$$\cdots \rightarrow A_{n+1}\rightarrow^{f_{n+1}} A_n \rightarrow^{f_{n}} A_{n-1}\rightarrow \cdots $$ be an inverse system of finite dimensional vector spaces with the property that the $$ are 'eventually constant', i.e., there is an $$ such that the maps $$ are isomorphisms for every $$. Does it follow that $$\lim_{\leftarrow} A_n \simeq A_m?$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Respuesta
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Recuerde que si sus dirigidos conjunto tiene un máximo, entonces el límite inversa es sólo el máximo; aquí se trata de la "esencia" de lo que tienen, ya que después de un cierto punto, usted no es realmente nada nuevo: usted puede identificar todos los $A_i$$i\geq m$, el colapso de la "cola izquierda" de su inversa sistema en una terminación de uno, así que la inversa es el máximo.
De hecho, esto funciona si está trabajando con finito dimensionales espacios vectoriales o cualquier tipo de estructura.
Pero, por supuesto, "esencialmente" no es lo mismo que "exactamente". Por lo que usar la característica universal. Yo reclamo que $A_m$ tiene la propiedad deseada. Deje $f_{ij}$ $i\geq j$ se define como la identidad si $i=j$, y como la composición de la $f_i\circ f_{i-1}\circ\cdots\circ f_j$ si $i\gt j$. Luego de la proyección de los mapas de $\pi_j\colon A_m\to A_j$ son definidos por $\pi_j=f_{mj}$ si $j\leq m$, y como $\pi_j = f_{jm}^{-1}$ si $j\gt m$; tenga en cuenta que esto tiene sentido, ya $f_{jm}$ es una composición de isomorphisms al $j\gt m$, por lo que él mismo es un isomorfismo y tiene una inversa. Tenga en cuenta que para cualquier $i\gt j$ tenemos $f_{ij}\circ \pi_j = \pi_i$, ya que se ha $f_{ij}\circ f_{jk} = f_{ik}$ siempre $i\geq j \geq k$.
Ahora vamos a $P$ ser cualquier objeto, junto con los mapas de $p_j\colon P\to A_j$ tal que para todos los $i\gt j$$f_{ij}\circ p_i = p_j$. A continuación, $p=p_m\colon P\to A_m$ tiene la propiedad adecuada, es decir, $p_j = \pi_j\circ p$ todos los $j$: si $j\leq m$, esto debido a que $\pi_j = f_{mj}$, lo $\pi_j\circ p = f_{mj}\circ p_m = p_j$, y si $j\gt m$$f_{jm}\circ p_j = p_m$, de manera pre-componer con $f_{jm}^{-1}$ obtenemos $p_j = (f_{jm})^{-1}\circ p_m = \pi_j\circ p$. El mapa es único: si $f\colon P\to A_m$ tiene la misma propiedad, a continuación,$f=f_m = p$.
Por lo tanto, $(A_m, \{\pi_j\})$ ha deseado universal de los bienes, por lo que "es" el límite inversa.
Tenga en cuenta que el hecho de que estamos tratando con finito dimensionales espacios vectoriales es completamente irrelevante; lo que importa es las propiedades de las funciones en el juego. Esto es típico de la universal de construcciones.
