Evaluando$\int\limits_0^\infty \frac{\log x} {(1+x^2)^2} dx$ con teoría de residuos

Question

Necesito un poco de ayuda con esta pregunta, por favor!

Tengo que evaluar las integrales impropias convergentes reales usando la TEORÍA DE RESIDUOS (vital que uso esto), usando el siguiente contorno:

ps

Usando este contorno:

$$\int\limits_0^\infty \frac{\log x} {(1+x^2)^2} dx$ Y$R>1$

Answer 1

Yo voy a dar mi humilde idea es mostrar que la integral es $-\dfrac{\pi}{4}$.

Con un cambio de variables ($x=e^u$) tenemos que

$$\mathcal{I}=\int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx = } \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{u{e^u}}}{{{{\left( {1 + {e^{2u}}} \right)}^2}}}du} $$

Podemos escribir esto como

$${\mathcal I} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{u{e^{ - u}}}}{{{{\left( {{e^{ - u}} + {e^u}} \right)}^2}}}du} $$

Poner a $u=-v$ tenemos que

$${\mathcal I} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{u{e^{ - u}}}}{{{{\left( {{e^{ - u}} + {e^u}} \right)}^2}}}du} = -\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{v{e^v}}}{{{{\left( {{e^{ - v}} + {e^v}} \right)}^2}}}dv} $$

Esto significa que

$$2I = 2\int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx = } \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{u\left( {{e^{ - u}} - {e^u}} \right)}}{{{{\left( {{e^u} + {e^{ - u}}} \right)}^2}}}du} $$

Podemos escribir esto en términos de la hiperbolic funciones, para obtener

$$2I = 2\int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx = } - \frac{1}{2}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{u\sinh u}}{{\cosh^2 u}}du} $$

Integración por partes da ($(\operatorname{sech} u)'=-\dfrac{{\sinh u}}{{\cosh^2 u}}$)

$$ - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{\sinh udu}}{{{{\cosh }^2}u}}} = \left[ {u\operatorname{sech} u} \right]_{ - \infty }^\infty - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{du}}{{\cosh u}}} $$

Por último, se puede comprobar fácilmente que

$$\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{du}}{{\cosh u}}} = \pi $$

y que $u \operatorname{sech} u$ es extraño por lo tanto el primer término en el lado derecho es cero. Así

$$\eqalign{ & 2I = 2\int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx = } - \frac{\pi }{2} \cr & Yo = \int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx = } - \frac{\pi }{4} \cr} $$

Answer 2

Es muy interesante que este problema pueda ser resuelto con sólo una línea usando sustitución sin usar residuos. Deje que la integral sea$I$ y$$ J(a)=-\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+a^2}dx. $ $ Claramente$I=-J'(1)$. Usando$x=au$, uno tiene \begin{eqnarray} I(a)&=&\frac{1}{2a}\int_0^\infty\frac{\log a+\log x}{x^2+1}dx\\ &=&\frac{\log a}{2a}\int_0^\infty\frac{1}{x^2+1}dx+\frac{1}{2a}\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+1}dx\\ &=&\frac{\pi\log a}{4a}. \end {eqnarray} Ahora$$ I=\frac{a}{da}\frac{\pi\log a}{4a}\bigg|_{a=1}=-\frac{\pi}{4}.$ $ Aquí usamos el hecho de que$$ \int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+1}dx=0. $ $