Teorema Global de Residuos en$\mathbb{CP}^2$.

Question

Considere el siguiente meromorphic forma definida en $\mathbb{CP}^2$: Ser $\phi_{1,2}$ el gráfico dado por $\phi_{1,2}(Z_1,Z_2) = (1,Z_1,Z_2)$, en estas coordenadas se definen $\omega= \frac{1}{Z_1 Z_2} dZ_1 \wedge dZ_2$. A continuación, el formulario puede ser entregado como $\bigwedge_i \frac{dZ_i}{(Z_i)}$ en cualquiera de las coordenadas en las cartas, donde uno de los $z$'s $1$ y los demás son libres (por ejemplo,$(Z_1,1,Z_2)$) una parte de una posible señal de que va a ser irrelevante en la siguiente.

Ahora, a mí me parece que la forma que tiene exactamente tres polos, $(1,0,0)$,$(0,1,0)$,$(0,0,1)$. Los residuos pueden ser calculadas como en la pag. $650$ de Griffiths & Harris y se obtiene o bien $1$ o $-1$.

Ahora, desde la $\mathbb{CP}^2$ es compacto y sin límite, la suma de los residuos de $\omega$ debería ser cero, pero esto es imposible (no importa lo que el real signos, $\pm1\pm1\pm1$ no puede ser cero).

Entonces, ¿dónde está el problema?

Answer 1

Ah, he mirado lo que el global de residuos teorema dice. Según Griffiths, la instrucción es la siguiente: Vamos a $X$ ser un equipo compacto conectado compleja $n$veces y dejar que $D_1$, ..., $D_n$ ser $n$ divisores tal que $D_1 \cap \cdots \cap D_n$ es un conjunto discreto $Z$. Deje $\omega$ ser un meromorphic formulario con postes a lo largo de $\bigcup D_i$. A continuación,$\sum_{p \in Z} \mathrm{res}_p \omega = 0$.

En su configuración, usted desea $X = \mathbb{P}^2$, e $\omega = \frac{d (x_1/x_3) \wedge d (x_2/x_3)}{(x_1/x_3) (x_2/x_3)}$. El polo locus de $\omega$$\{ (x_1: x_2: x_3) : x_1 x_2 x_3=0 \}$. Este divisor tiene tres componentes, pero con el fin de aplicar Griffiths formulación tengo que escribir como una unión de dos componentes: Decir $D_1 = \{ x_1 x_2 =0 \}$$D_2 = \{ x_3 = 0 \}$. A continuación, $D_1 \cap D_2$ está a sólo dos puntos, en consonancia con Griffiths formulación. Esto explica su confusión: La tercera $0$-estrato de su límite no es un punto de $D_1 \cap D_2$.

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Supongo que esto refleja mi falta de formación clásica, pero yo nunca había visto el resultado se expresa de esta manera. La declaración de que yo sabía era la siguiente: Supongamos que estamos dando a $n+1$ divisores, $D_0$, $D_1$, ..., $D_n$ de tal manera que las $n$veces intersección es finito y cualquier $(n+1)$veces intersección es vacía. Deje $\omega$ ser un meromorphic forma diferenciada con los polos restringido a $\bigcup D_i$. Definir $$R_j(\omega) = (-1)^{j} \sum_{p \in D_0 \cap \cdots \widehat{D_j} \cdots \cap D_n} \mathrm{Res}_p \omega.$$ (Se calcula el residuo con respecto a la referencia $(D_0, \cdots \widehat{D_j}, \cdots, D_n)$ de las coordenadas.) A continuación, $R_j$ es independiente de $j$.

Presumiblemente, algunos fáciles de álgebra lineal se deduzca esta formulación de Griffiths' de la formulación. Para deducir Griffiths, a partir de esto, simplemente tome $D_0 = \emptyset$.

La razón de este resultado es importante es la siguiente: Set $U_i = X \setminus D_i$, lo $(U_0, U_1, \ldots, U_n)$ es un cover de $X$. A continuación, $\omega$ es un Cech cocycle para $H^n(X, \Omega^n)$, e $(-1)^j R_j$ es (más o menos) la dualidad de Serre isomorfismo $H^n(X, \Omega^n) \cong \mathbb{C}$.