Una integral particular:$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(\pi x)}{\prod_{k=-n}^{n}(x-k)}\,dx$

Question

Tengo que mostrar summability, luego calcular la siguiente integral:

ps

para cada $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(\pi\,x)}{\prod_{k = - n}^n (x - k)}\,dx = \frac{(-4)^n}{(2\,n)!}\,\pi $. ¿Es posible evitar el teorema del residuo?

Sería feliz con una solución real-analítica, si es posible. Gracias por adelantado.

Answer 1

Un acercamiento posible es el siguiente: para primero, probar que:

$$\frac{1}{\prod_{k=-n}^{n}(x-k)}=\frac{1}{(2n)!}\sum_{h=0}^{2n}(-1)^h \binom{2n}{h}\frac{1}{x-n+h}\tag{1}$ $ A través del teorema del residuo o de la descomposición parcial de la fracción, entonces recuerde que:$$ \forall m\in\mathbb{Z},\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(\pi x)}{x-m}\,dx = (-1)^m \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(\pi x)}{x}\,dx = \pi(-1)^m \tag{2}$ $ y por último, combine$(1)$ y$(2)$ ps

Obsérvese que por$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(\pi x)}{\prod_{k=-n}^{n}(x-k)}\,dx = \frac{\pi (-1)^n}{(2n)!}\sum_{h=0}^{2n}\binom{2n}{h} = \color{red}{\frac{\pi(-4)^n}{(2n)!}}.\tag{3}$ y$(1)$, la sumabilidad se otorga debido a la sumabilidad (Riemann-) de$(2)$, que resulta de la integración por partes o el criterio de Dirichlet.