Definición de una pregunta límite

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de la diferencia entre las dos declaraciones,

$$\forall \epsilon >0 \ \exists N \ \in \mathbb{N} \ \forall n\ge N \ (|a_n-a| < \epsilon)$$ y

$$\exists N \in \mathbb{N} \ \forall \epsilon > 0 \ \forall n\ge N \ (|a_n-a| < \epsilon) $$

Puedo ver la diferencia cuando estoy tratando de probar un límite (a menos que la secuencia es constante) porque tengo que dejar a $N$ dependen de la $\epsilon$. Pero cuando digo que la primera declaración en voz alta, parece que se explica qué es una secuencia convergente está haciendo.

Si hay un $N$ s.t. para cualquier número positivo que me das, un índice mayor que el $N$ implica que la distancia entre el límite y la secuencia es menor que el número positivo. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Observe cómo este$N$ es suficiente para cada$\epsilon$ dado en esta segunda declaración. Estudiemos una secuencia que satisfaga esta segunda afirmación.

Sea$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una secuencia que lo satisfaga. Entonces, existe$N \in \mathbb{N}$ tal que para cada$\epsilon > 0$ dado,$m>N \implies |a_m - a| < \epsilon$. Para cada$n \in \mathbb{N}$, puede tomar$1/n$ para$\epsilon$, dándole así ese$m>N \implies |a_m - a| < 1/n \ \forall n \in \mathbb{N} \implies |a_m - a| = 0 \implies a_m = a$. Entonces significa que$a_n$ es constante para$m>N$!

Answer 2

La segunda definición dice que $N$ no depende de $\varepsilon$: el mismo $N$ continúa trabajando ahora importa cuán pequeño $\varepsilon$ recibe. Desea $a_n$ dentro $\varepsilon=0.000000000000000000001$$a$? Por la segunda definición, no es necesario hacer $N$ más grande que si usted quiere que sea dentro de $\varepsilon=0.001$. Que si después de algún número finito de pasos, es decir, para$n\ge$$N$, $a_n$ siempre igual a $a$. De lo contrario, a continuación, $N$ debe depender de $\varepsilon$ $N$ deben crecer como $\varepsilon$ se hace más pequeño.