Sea$M$ un múltiple,$X$ un campo vectorial en$M$. Pregunta: Si para cada punto$p\in M$, existe una vecindad$U$, tal que para cualquier geodésica radial$\gamma$ en$U$,% Entonces, debe$X(\gamma)$ ser un campo de Matar?
Respuesta
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Sim
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26
No - Jacobi campos sólo preservar geodesics, no toda la geometría. Es más fácil ver la distinción en el plano de caso - una familia de transformaciones lineales de $\mathbb R^n$ preservará geodesics y por lo tanto producir una $X$, pero la mayoría de las transformaciones lineales no son isometrías.
Para una explícita contraejemplo, considere la posibilidad de la radial campo de vectores $X = x \partial_x + y \partial_y$ sobre el plano Euclidiano $\mathbb R^2$, lo que evidentemente no es Matar. Un arbitrario geodésica tiene la forma $\gamma(t) = (a+vt,b+wt)$, a lo largo de los cuales hemos $$X(\gamma(t)) = (a+vt)\partial_x + (b+wt)\partial_y.$$ Since the Christoffel symbols are vanishing, the Jacobi equation is simply $(X \circ \gamma)"(t) = 0$, que es claramente satisfecho.
Lo que se puede concluir es que el $X$ es un "infinitesimal transformación afín", es decir, su flujo tira hacia atrás de la de Levi-Civita de conexión. Ver, por ejemplo, el Capítulo 13 de Lang Fundamentos de la Geometría Diferencial para algunos discusión de la relación - en particular a lo que se puede concluir $X$ está Matando si asumimos $M$ es compacto, por el teorema de Yano.
Edit: frente a los comentarios, he aquí una (incómodo) la prueba de que para una torsión de conexión, la variación $\gamma(t,s) = F^X_s \gamma_0(t)$ es geodésica siempre $\gamma_0$ es geodésica y $X$ es Jacobi a lo largo de cada línea geodésica. Este hecho acerca de la $X$ implica que el "global Jacobi ecuación" $\nabla^2_{v,v} X = R(v,X)v$ para cualquier vector $v.$ I el uso de la notación $\dot \gamma$ para el campo de vectores $D\gamma(\partial_t)$, que es el vector de velocidad de $\gamma_s$ al $s$ es fijo. Tenga en cuenta que $X$ $\dot \gamma$ viaje.
$\def\n{\nabla} \def\dg{\dot \gamma}$Applying the definition of the curvature and using $\n_X \dg = \n_\dg X$ we get $$\n_X \n_{\dg} \dg = R(X, \dg) \dg + \n_\dg \n_\dg X.$$ Using the global equation $\n^2_{\dg,\dg}X = \n_{\dot \gamma} (\n_{\dot \gamma} X) - \nabla_{\nabla_{\dot \gamma} \dot \gamma} X = R(\dot \gamma,X)\dot \gamma$ podemos escribir esto como
$$\n_X(\n_{\dot \gamma} \dot \gamma) = \n_{\n_{\dot \gamma} \dot \gamma} X;$$
es decir, $A = \n_{\dot \gamma} \dot \gamma$ $X$ viaje. Desde $A$ es cero a lo largo de $\gamma_0$, con lo que tenemos $$F^A_t F^X_s p = F^X_s F^A_tp = F^X_s p$$ for all $p$ on $\gamma_0$, and thus $$ is zero on all points that can be reached by flowing along $X$ from $\gamma_0$, como se desee.
