¿Cómo puede una forma intuitiva de pensar acerca de los cuaterniones?

Question

Cuaterniones ocurrió mientras yo estaba haciendo una pasantía no hace mucho tiempo y que parecía que nadie sabe realmente cómo funcionaba. Mientras que, finalmente, ciertas personas fueron perseguidos y fueron capaces de ayudar con el problema, lo que despertó mi interés en cuaterniones.

Después de leer muchos artículos y un par de libros sobre ellos, comencé a conocer las fórmulas relacionadas con ellos, pero aún no tienen idea de cómo funcionan (¿por qué se permiten rotaciones en el espacio 3D para ser específicos). Me sigue un poco y miró normal de los números complejos con un solo componente imaginario y pregunté a mí mismo si yo ni siquiera entendía cómo es que permiten rotaciones en el espacio 2D. Después de un par de momentos increíbles de la comprensión, entendí que para los números imaginarios, pero todavía estoy teniendo problemas para la ampliación de los pensamientos a los cuaterniones.

Cómo puede alguien pensar intuitivamente sobre cuaterniones y cómo se permiten rotaciones en el espacio 3D?

Answer 1

He aquí una manera. El grupo de la unidad de cuaterniones es isomorfo a la especial grupo unitario $\text{SU}(2)$, el grupo de $2 \times 2$ unitario complejo de matrices con determinante $1$. Este grupo actúa en $\mathbb{C}^2$ en la forma obvia, y por lo que también actúa sobre las líneas en $\mathbb{C}^2$. (Estas son las líneas complejas, por lo que tienen una dimensión real $2$.) El espacio de líneas en $\mathbb{C}^2$ es el complejo proyectiva de la línea de $\mathbb{CP}^1$, y resulta que hay una manera natural de pensar acerca de este espacio como una esfera, es decir, la esfera de Riemann. Hay una hermosa proyección que se muestra en el artículo de la Wikipedia que muestra este; esencialmente uno piensa en $\mathbb{CP}^1$ $\mathbb{C}$ más que un "punto en el infinito" y, a continuación, los proyectos de este último sobre la antigua en un camino que se pierde un punto.

Por lo $\text{SU}(2)$ natural actúa sobre una esfera, y como resulta que, naturalmente, los actos por las rotaciones. Esto describe el famoso 2-a-1 mapa de $\text{SU}(2) \to \text{SO}(3)$, lo que permite a los cuaterniones para describir rotaciones 3D.

Answer 2

Me parece que la conversión entre los cuaterniones y el eje angular de representación bastante instructivo.

En el eje angular de representación, describir una rotación especificando el eje de rotación de un vector unitario $\omega$ y un ángulo de $\theta$ sobre el que giran alrededor de este eje. Un hecho interesante es que cualquier posible la rotación puede ser descrito de esta manera.

La correspondiente cuaterniones es dada simplemente por $\left(\cos(\theta/2), \omega\sin(\theta/2)\right)$. Aquí la notación $(a, v)$ donde $a$ es un escalar y $v$ un verdadero vector, denota el quaternion $a + v_xi + v_yj + v_zk$ o $(a,v_x,v_y,v_z)$.

Aquí está la interpretación intuitiva de este. Dado un determinado eje de rotación de $\omega$, si se restringen los 4D de cuaterniones espacio para el 2D plano que contiene a$(1,0,0,0)$$(0,\omega_x,\omega_y,\omega_z)$, la unidad de cuaterniones que representan todas las posibles rotaciones sobre el eje $\omega$ formulario del círculo unidad en el plano. Una rotación de $\theta$ sobre el eje $\omega$ es el punto en un ángulo de $\theta/2$ $(1,0,0,0)$ en ese círculo. Por ejemplo, no gira en todas las es $(1,0,0,0)$, rotación de 180° es $(0,\omega_x,\omega_y,\omega_z)$, y la rotación de 360° es $(-1,0,0,0)$, que es el mismo que no gira en absoluto (véase el párrafo final).

La multiplicación de dos cuaterniones es poco intuitivo, pero no estoy molesta por eso, porque la composición de dos rotaciones en la vida real es bastante intuitivo en el primer lugar.

(Tenga en cuenta que los cuaterniones son una "doble cobertura" del espacio de rotaciones, en el que cualquier rotación en realidad tiene dos cuaterniones, decir $q$$-q$, que representan: $\theta$ $\theta + 2\pi$ son el mismo ángulo, pero $\theta/2$ $(\theta+2\pi)/2$ no lo son. Este es el único "fallo" en la cuádrupla representación de las rotaciones.)

Answer 3

Le recomiendo que lea la presentación en Conway y Smith: En cuaterniones y octonions: Su geometría, la aritmética, y la simetría. He aquí un extracto de Juan Báez es muy informativo revisión:

De ello se desprende que los cuaterniones de norma 1 forman un grupo bajo la multiplicación. Este grupo es llamado generalmente SU(2), porque la gente piensa de sus elementos como el 2 × 2 unitario matrices con determinante 1. Sin embargo, la quaternionic punto de vista es mejor adaptados a ver cómo este grupo describe las rotaciones en 3 y 4 dimensiones. La unidad de cuaterniones actuar a través de la conjugación como rotaciones del espacio 3d de "imaginario puro" cuaterniones, es decir, aquellos con Re(q) = 0. Esto le da un homomorphism de SU(2) en la rotación 3d grupo SO(3). El núcleo de este homomorphism es {±1}, por lo que vemos SU(2) es una doble cubierta de SO(3). La unidad de cuaterniones también actuar a través de la izquierda y a la derecha de la multiplicación como la rotación de la 4d espacio de todos los cuaterniones. Esto le da un homomorphism de SU(2) Ũ SU(2) en la 4d de rotación del grupo SO(4). El núcleo de este homomorphism es {±(1, 1)}, por lo que vemos SU(2) Ũ SU(2) es una doble cubierta de SO(4).

Estos hechos son muy importantes a través de las matemáticas y la física. Con su ayuda, Conway y Smith clasificar los subgrupos finitos de la rotación 3d grupo SO(3), su doble cubierta de SU(2), la rotación 3d/grupo de reflexión O(3), y el 4d de rotación del grupo SO(4). Estas clasificaciones son todos, en principio, "conocido". Sin embargo, parece difícil encontrar en un solo lugar, por lo que Conway y Smith elegante tratamiento es muy útil

Ver también el artículo de la Wikipedia Cuaterniones y espacial de rotación.

Answer 4

Una forma de ver la analogía entre la transición de lo real a los números complejos y el de los números complejos para cuaterniones es por medio de el hecho de que los espacios de la unidad de los números complejos y la unidad de cuaterniones, es decir, el círculo unidad $S^1$ y el de la unidad 3 de la esfera de $S^3$ respectivamente, son Mentira grupos.

La analogía puede ser visto en el grupo de leyes, que se puede convertir en una muy similar formulario de la siguiente manera:

Un punto en $S^1$ puede ser representado por el número complejo $z = (x, y)$ , $x^2+y^2= 1$. Un punto en $S^3$ puede ser representado por una cuádrupla $q = (z, w)$ donde $z$ $w$ son números complejos y $|z|^2+|w|^2= 1$.

El $S^1$ multiplicación de la ley tiene la forma:

$z_1 z_2 = (x_1x_2 - y_1 y_2, x_1y_2 + y_1 x_2)$

El $S^3$ multiplicación de la ley es:

$q_1 q_2 = (z_1z_2 - w_1 \bar{w_2}, z_1w_2 + w_1 \bar{z_2})$

Es fácil comprobar que estas multiplicación de leyes satisfacer el grupo de leyes. Por supuesto, la principal diferencia es que los cuaterniones grupo la ley ya no es conmutativa: desde

$q_2 q_1 = (z_1z_2 - \bar{w_1} w_2, z_1w_2 + \bar{w_1} z_2)$