¿Cuál es el valor mínimo de $k$ para lo cual $B^k = I$ ?

Question

He encontrado la siguiente pregunta en un libro de texto y no he sido capaz de resolverla.

Supongamos que $A$ y $B$ son dos matrices no singulares tales que $B \neq I$ , $A^6 = I$ y $AB^2 = BA$ entonces, ¿cuál es el valor mínimo de $k$ para lo cual $B^k = I$ ?

Mi intento

Podemos ver que $A^6 = I$ Así que intenté manipular la segunda ecuación para incluir $A^6$ para obtener la matriz identidad. Pero esto no funcionó, y terminé obteniendo algo de la forma, $B^{-1}AB^2 = A$ . No pude reducirlo más.

Respuesta

La respuesta es $k = 127$ .

Answer 1

Abordemos el problema más general con $A^n=I$ . Tenemos $$ B^2=A^{-1}BA $$ Por lo tanto $$ A^{-2}BA^2=A^{-1}(A^{-1}BA)A=A^{-1}B^2A=(A^{-1}BA)^2=B^4=B^{2^2} $$ Por fácil inducción, $$ A^{-m}BA^m=B^{2^m} $$ para cada número entero $m\ge0$ en particular, $$ B=A^{-n}BA^n=B^{2^n} $$ y así $B^{2^n-1}=I$ .

Así que ciertamente $B^{63}=I$ .

Tenga en cuenta que si $A^2=I$ se podría concluir que $B^3=I$ . Además $B^2=I$ implicaría $A=BA$ Así que $B=I$ que no se admite. Por lo tanto, el valor mínimo para el que $B^k$ puede ser la identidad es $3$ desde luego que no. $127$ .

¿Es posible encontrar dos matrices con estas propiedades? Sí.

Vamos a trabajar en $3\times 3$ matrices. Consideremos como $A$ la matriz de permutación intercambiando filas $1$ y $2$ mientras que $B$ es la matriz de permutación que envía la fila $1$ para remar $2$ , fila $2$ para remar $3$ y fila $3$ para remar $1$ . Entonces es fácil comprobar que $A^{-1}BA=B^2$ y $A^2=I$ .

Answer 2

Si eliminamos la hipótesis $A^6=I_n$ ...

Proposición. Sea $B\in GL_n(\mathbb{C})$ s.t. $B^2$ y $B$ son similares. Entonces, hay un número entero positivo $k$ s.t. $B^k=I_n+N$ donde $N$ es nilpotente.

Prueba. Sea $\sigma(B)$ sea el espectro de $B$ y $\lambda\in \sigma(B)$ . Entonces $\lambda^2,\lambda^{2^2},\cdots\in\sigma(B)$ ; no es difícil deducir que hay $p\leq n$ s.t. $\lambda^{2^p-1}=1$ . Sea $k=lcm(2-1,2^2-1,\cdots,2^n-1)$ . Entonces, para cada $\lambda\in\sigma(B)$ , $\lambda^k=1$ y hemos terminado.

Ejemplo. Si $n=4$ entonces $k=lcm(1,3,7,15)=105$ .

Observación 1. Por supuesto, si $B$ es diagonalizable, entonces $B^k=I_n$ .

EDITAR. Observación 2. Suponemos que $A^6=I$ y buscamos una pareja s.t. el orden de $B$ es $63$ (máximo). Según la prueba anterior, necesariamente, $n\geq 6$ y, de hecho, $6$ es conveniente. En efecto, dejemos que $a=exp(2i\pi/63)$ y tomar

$B=diag(a,a^2,a^4,a^8,a^{16},a^{32}),A=[a_{i,j}]$ donde $A$ es la permutación definida por $a_{i,j}$ son $0$ excepto $a_{i,i+1}=1,a_{n,1}=1$ . Entonces $A^6=I,ABA^{-1}=B^2$ .

Answer 3

$$\begin{array}{rcl} B &=& BA^6 \\ &=& (BA)A^5 \\ &=& (AB^2)A^5 \\ &=& A(B^2A)A^4 \\ &=& A(B(BA))A^4 \\ &=& A(B(AB^2))A^4 \\ &=& A((BA)B^2)A^4 \\ &=& A(AB^4)A^4 \\ &=& A^2(B^4A)A^3 \\ &=& \cdots \\ &=& A^6B^{64} \\ &=& B^{64} \end{array}$$

Multiplica ambos lados por $B^{-1}$ (cuya existencia está garantizada porque $B$ es no singular) para dar $I=B^{63}$ .

Answer 4

Esto es no una respuesta completa, sólo algunas ideas que puede Ayuda.

Tenemos $$AB^2=BA\Rightarrow\\ A^6B^2=A^5BA\Rightarrow \\B^2=A^5BA\Rightarrow \\(B^2)^n=(A^5BA)(A^5BA)\dots (A^5BA)\Rightarrow\\B^{2n}=A^5B^nA$$

Supongamos ahora que el valor mínimo deseado $k$ es par.

De ello se deduce que $k=2n$ para algunos $n\in \mathbb{N}$ así que $$B^{2n}=B^k=A^5B^nA=I\Rightarrow\\B^nA=A\Rightarrow \\B^n=I$$

lo cual es una contradicción ya que $n\lt k$ y $k$ es el valor más pequeño para el que $B^k=I$

Así que $k$ debe ser impar

Tenemos $$B^{2n}=A^5B^nA\Rightarrow \\B^{2n+1}=A^5B^nAB\Rightarrow\\B^k=A^5B^{\frac{k+1}{2}}AB^{-1}$$