Ramanujan Anidada de Cubo: Si $\alpha,\beta$ e $\gamma$ son raíces de la ecuación$$x^3-ax^2+bx-1=0\tag{1}$$then, for a suitable determination of roots,$$\alpha^{1/3}+\beta^{1/3}+\gamma^{1/3}=(a+6+3t)^{1/3}\tag{2.1}$$and$$(\alpha\beta)^{1/3}+(\beta\gamma)^{1/3}+(\gamma\alpha)^{1/3}=(b+6+3t)^{1/3}\tag{2.2}$$where$$t^3-3(a+b+3)t-(ab+6(a+b)+9)=0\tag3$$
Esta identidad es lo que Ramanujan se utiliza para obtener la identidad de$$\sqrt[3]{\cos\tfrac {2\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\tfrac {4\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\tfrac {8\pi}7}=\sqrt[3]{\tfrac 12\left(5-3\sqrt[3]7\right)}$$ Empezando con $x^3+x^2-2x-1=0$ y la búsqueda de las respectivas raíces. Luego, señalando que, a $a=-1,b=-2$, se obtiene la RHS.
Pregunta:
- Cómo probar la fórmula
- Hay un procedimiento estándar para encontrar el trigonométricas raíces de un polinomio
Empecé con una función de $x^3-px^2+qx-1=0$ y supone que las raíces se $\alpha^{1/3},\beta^{1/3},\gamma^{1/3}$. De esa manera, por Vieta de la fórmula, tenemos$$\alpha^{1/3}+\beta^{1/3}+\gamma^{1/3}=p$$$$(\alpha\beta)^{1/3}+(\beta\gamma)^{1/3}+(\gamma\alpha)^{1/3}=-q$$However, I'm not sure how to represent the RHS as $(2.1)$ or $2.2$
EDIT: he encontrado una prueba, pero algo no coincide. He publicado otra pregunta aquí
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$\alpha$, $\beta$ Y $\gamma$ raíces de la ecuación de $x^3-ax^2+bx-1=0$ tan\begin{eqnarray*} a= \sum \alpha \\ b= \sum \alpha \beta \\ \alpha \beta \gamma =1 \end{eqnarray *} para $\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma} =1$ let\begin{eqnarray*} A= \sum \sqrt[3]{\alpha} \\ B= \sum \sqrt[3]{\alpha \beta} \end{eqnarray *} estas ecuaciones del cubo y multiplicarlos\begin{eqnarray*} A^3= a+3\sum \sqrt[3]{\alpha^2 \beta} +6\\ B^3= b+3\sum \sqrt[3]{\alpha^2 \beta} +6\\ AB= \sum \sqrt[3]{\alpha^2 \beta}+3 \end{eqnarray *} deje que $t=\sum \sqrt[3]{\alpha^2 \beta}$% y cubo $AB=t+3$tenemos\begin{eqnarray*} t^3+9t^2+27t+27 = A^3B^3=(a+3t +6)(b+3t +6)\\ t^3=3(a+b+3)t+(ab+6(a+b)+9). \end{eqnarray *} por lo tanto la ecuación se muestra.
Que $$\sqrt[3]{\cos\tfrac {2\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\tfrac {4\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\tfrac {8\pi}7}=x$ y $$\sqrt[3]{\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {4\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\tfrac {4\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7}=y.$ $ por lo tanto, desde $$\cos\tfrac {2\pi}7+\cos\tfrac {4\pi}7+\cos\tfrac {8\pi}7=-\frac{1}{2},$$ $$\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {4\pi}7+\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7+\cos\tfrac {4\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7=-\frac{1}{2}$ $ y $$\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {4\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7=\frac{1}{8},$ $ obtenemos: $$x^3=\cos\tfrac {2\pi}7+\cos\tfrac {4\pi}7+\cos\tfrac {8\pi}7+3xy-3\sqrt[3]{\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {4\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7}=-\frac{1}{2}+3xy-\frac{3}{2}=3xy-2$ $ y $$y^3=\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {4\pi}7+\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7+\cos\tfrac {4\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7+$ $ $$+3xy\sqrt[3]{\cos\tfrac {2\pi}7\cos\tfrac {4\pi}7\cos\tfrac {8\pi}7}-3\sqrt[3]{\cos^2\tfrac {2\pi}7\cos^2\tfrac {4\pi}7\cos^2\tfrac {8\pi}7}=$ $ $$=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}xy-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}xy-\frac{5}{4}.$ $ así, $$x^3y^3=(3xy-2)\left(\frac{3}{2}xy-\frac{5}{4}\right)$ $ o $$4x^3y^3=18x^2y^2-27xy+10$ $ o $$8x^3y^3-36x^2y^2+54xy-20=0$ $ o $$(2xy-3)^3+7=0$ $ o $ de $$xy=\frac{1}{2}\left(3-\sqrt[3]7\right),$ $$x^3=\frac{3}{2}\left(3-\sqrt[3]7\right)-2$ $ o $$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(5-3\sqrt[3]7\right)}$ $ y que se hacen!
En la general sólo necesitamos resolver una ecuación cúbica de $xy$.
