Suponga $a_n\geq 0$ es una secuencia de números reales positivos que satisfacen las siguientes desigualdades: para cada una de las $n,m\in\mathbb{N}$, $$(n+m)a_{n+m}\leq na_n+ma_m.$ $ I no se puede mostrar la convergencia de esta aparentemente bien se comportó de la secuencia (supongo que hace converger, y que uno debe usar un monótono truco?). Cualquier sugerencia se agradece. He encontrado esto en una lista de ejercicios de secuencias y de convergencia, y creo que debe ser primaria, porque también lo son el resto de los problemas que aparezcan en la lista. Gracias de antemano!
La integridad, la mi -no se - los intentos hasta ahora:
El uso de la inducción, demuestra esily que para cualquier $p,n\in\mathbb{N}$ la desigualdad $$a_{pn}\leq a_n.$$ From here one might conclude convergence of subsequences of the form $\{a_{{p^k}n}\}_k$ for any $p,n\in\mathbb{N}$. Pero, por desgracia, yo no puedo conseguir que un argumento a partir de aquí.
Otro prometedor aspecto de la desigualdad es $$a_{n+1}\leq \frac{n}{n+1}a_n+\frac{a_1}{n},$$ pero de nuevo esto no es suficiente.
Por último, he intentado jugar con la secuencia (para algunos $r$ fijo) $$A_n=\min\left\{\frac{nx_n+x_1}{n+1},\frac{(n-1)x_{n-1}+x_2}{n+1},\dots,\frac{(n-1)x_{n-r}+x_{r+1}}{n+1}\right\},$$ becase its a trick I have seen elsewhere when solving exercises on convergence of bounded sequences. I don't think this is the way, because I believe this would only work if you had an estimate of $a_{n+1}$ as a "convex" combination of the $r$-cola.
EDIT: parece Que todo el mundo puede probar este resultado de una manera o de otra. Un amigo mío sugirió inmediatamente a aplicar Fekete del Subadditive Lema aquí a la secuencia de $b_n=n a_n$.
