Cómo encontrar el máximo de valor $\frac{\sin{x}+1}{\sqrt{3+2\cos{x}+\sin{x}}}$

Question

Encontrar el máximo del valor $$f(x)=\dfrac{\sin{x}+1}{\sqrt{3+2\cos{x}+\sin{x}}}$$

Yo uso wolframpha esto se encuentra este valor máximo es de $\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$,Pero, ¿Cómo demostrar y la forma para encontrar este valor?(sin derivados)

idea 1 deje $\tan{\dfrac{x}{2}}=t$,luego tenemos $$f=\dfrac{(t+1)^2}{\sqrt{t^4+2t^3+6t^2+2t+5}}$$ Por lo tanto,es suficiente para demostrar que $$\dfrac{(t+1)^4}{t^4+2t^3+6t^2+2t+5}\le\dfrac{32}{25}$$ o$$32(t^4+2t^3+6t^2+2t+5)-25(t+1)^4\ge 0$$ o $$ (t-3)^2(7t^2+6t+15)\ge 0$$

Pero este método sin derivados,que no conoce el máximo es de $\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$.

idea 2 $$f(x)=\dfrac{\sin{x}+1}{\sqrt{(\sin{x}+1)+2(\cos{x}+1)}}$$ Deje $u=\sin{x}+1,v=\cos{x}+1$,$(u-1)^2+(v-1)^2=1$, de encontrar el máximo de la $$\dfrac{u}{\sqrt{u+2v}}$$

Answer 1

Cambiar las variables para que $\sin(x)$ $x$ y $\cos(x)$ $\sqrt{1-x^2}$. El rango de $x$ es $[0,1]$, por supuesto. Cuadrado de la función para eliminar el radical, por lo que ahora su función es: $(1+x)^2/(3+x+2\sqrt{1-x^2})$.

Tratar de demostrar por la manipulación directa que $(1+x)^2/(3+x+2\sqrt{1-x^2})]\leq1$ $[0,1]$, es decir, conseguir todo pero el radical por un lado, y luego deshacerse de los radicales y llega a una desigualdad polinómica. Usted será capaz de lo factor y demostrar que es estrictamente negativa.

Answer 2

Necesitamos minimizar $$\dfrac{3+2\cos x+\sin x}{(1+\sin x)^2}$$

Ahora WLOG deje $x=\dfrac\pi2-2y$ conseguir $$\dfrac{3+2\sin2y+\cos2y}{(1+\cos2y)^2}$$

El uso de Weierstrass de sustitución, la escritura $\tan y=t$

llegamos $$2f(t)=(t^2+1)(t^2+2t+2)$$

Ahora utilizar la Segunda derivada de la prueba, para encontrar el valor mínimo de $f(t)$ se produce en $-\dfrac12$

es decir, $$f(t)\le\dfrac{25}{32}$$

Answer 3

Sugerencia:

Asumir que $f(x)\leq 4\sqrt2/5$

Ahora Cruz multiplicar, hacer cuadrados a ambos lados y en última instancia, si es lo máximo, usted conseguirá una desigualdad donde puede mantener la condición de igualdad, entonces escriba la suma total hacia atrás!