Valor máximo de un polinomio complejo en el disco de la unidad

Question

El polinomio es $p(z)=\sum^n_{k=0} a_kz^k$. Y quiero demostrar la siguiente desigualdad en la unidad de disco$$\max_{B_1(0)}|p(z)|\geq |a_n|+|a_0|$$

Por el máximo módulo principio, el máximo debe estar en el círculo unidad y mayor que $|a_0|$ considerando $p(0)$. Sin embargo, no puedo hacer más conclusiones a partir de esta, ya que cualquier intento de utilizar la desigualdad de triángulo resultará en la dirección opuesta a la de el resultado deseado.

También he visto un problema similar, aunque puedo concluir $\max_{|z|=1}|p(z)|$es mayor que cualquiera de los dos en el HR, pero ya que no hay relación de $\max_{k\in\{0,\ldots,n\}}|a_k|\geq|a_0|+|a_k|$, a una mayor bound es necesario.

También traté de expansión en funciones trigonométricas, y considerar las raíces, pero no funcionó como se esperaba.

Answer 1

Esto era más complicado de lo que pensaba en primer lugar. Tal vez haya una solución más simple, pero aquí es una aproximación: que $\omega = \exp(2\pi i/n)$. Entonces $ \sum_{j=0}^{n-1} {(\omega^k)}^j =\begin{cases} n, & k \in \{ 0, n \} \\ 0, & 1 \le k \le n-1. \end{casos} $ (esto es una propiedad bien conocida de las raíces de la unidad, o se deduce la suma geométrica de computación si se prefiere).

Por lo tanto\begin{align} \frac1n \sum_{j=0}^{n-1} f(\omega^j z) &= \frac1n \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n} a_k {(\omega^j)}^k z^k \\ &= \frac1n \sum_{k=0}^{n} a_k z^k \sum_{j=0}^{n-1} {(\omega^k)}^j = a_0 + a_nz^n. \end {Alinee el}

En consecuencia, conseguimos\begin{align} |a_0| + |a_n| &= \max_{|z|=1} |a_0 + a_nz^n | \\ &= \max_{|z|=1} \Big| \frac1n \sum_{j=0}^{n-1} f(\omega^j z) \Big| \\ &\le \frac1n \sum_{j=0}^{n-1} \max_{|z|=1} \big| f(\omega^j z) \big| = \max_{|z|=1} |f(z)|. \end {Alinee el}