¿Cómo derivar la fórmula cuadrática utilizando cálculo?

Question

La fórmula cuadrática: $$f(x)=ax^2+bx+c=0$$

$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Recuerdo de un tutor, una vez que me muestra un método para derivar la fórmula cuadrática utilizando el cálculo de alguna manera. Esto fue alrededor de hace 20 años y ni siquiera puedo recordar el tutor. Realmente me gustaría aprender este método. Solo para aclarar, yo no sé cómo derivar a través de "Completar el cuadrado" método.

Yo estaba vinculada a la solución aquí: https://www.google.com/amp/s/threesixty360.wordpress.com/2008/10/19/using-calculus-to-generate-the-quadratic-formula/amp/

Pero estoy atascado en un paso.

Inicio con: $$f(x)=ax^2+bx+c$$

Queremos: $$f(x)=0$$

La primera derivada, se obtiene: $$f'(x)=2ax+b$$

Lo que conduce a esto: $$f(x)=c+\int_0^x (2at+b)dt$$

Yo no puedo ver por qué la $t's$ fueron introducidos aquí.

Si alguien tiene otros métodos realmente me gustaría ver también con ellos.

Answer 1

Si f es un polinomio de grado $n$ entonces todos $x, y$ tenemos $$f(x)=\sum_{j=0}^n(x-y)^jf^{(j)}(y)/j!$$ where $f^{(0)}=f$ and $f^{(j)} $ is the $j $th derivative of $f $ when $j > 0.$... And with the usual convention that $0 ^ 0 = 1 $ (i.e. the term $(x-y) ^ j $ for $j = 0 $, when $x = y$).

Cuando $f(x)=Ax^2 +Bx+C$ $A \ne 0,$ $f'(x)=2Ax+B$ es igual a $0$ $x=x_0=-B/2A.$ % todo $x$con $$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)^2f''(x_0)/2!.$$ But $f ' (x_0) = 0 $ and $ f '' (x_0) = 2A, $ so for all $x $ we have $% $ $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)^2\cdot A.$esto "termina la Plaza" para nosotros.