Ejemplos de grupos (o anillos, campos, etcetera.) Que es isomorfo a un subgrupo apropiado (o anillo, subcampo, etcetera.)

Question

Fue sólo la lectura de esta pregunta Cuando es un grupo isomorfo a un subgrupo de sí mismo? y se preguntaba no acerca de las condiciones para ser isomorfo a un adecuado subgrupo, sub-anillo, etc., pero sobre ejemplos de estas cosas que están sucediendo. (Sin duda, una condición necesaria es que nuestro algebraicas objeto de ser infinito como un conjunto. De lo contrario, no podemos tener un bijection entre el conjunto inicial y un subconjunto.)

Creo que se dio un ejemplo en el enlace de arriba usando incluso los poderes de un polinomio anillo de $R[x]$ y el anillo de $R[x]$ sí. Me cree otro ejemplo es en Dummit y Foote con las raíces de la unidad o algo así. De todos modos, tener en ella!

(Aquí hay otro post relacionado: Anillos con isomorfo adecuada subrings)

(Siéntase libre también publicar las respuestas que quizá colectores que son homeomórficos/diffeomorphic/biholomorphic para la adecuada submanifolds o cosas como que si usted tiene algunos de los favoritos!)

(La única categoría que sé excluye de este negocio es la geometría algebraica...pero sólo un poco si quieres incompleta intersecciones...)

Answer 1

Si tienes un ejemplo para los campos, tienes un ejemplo para anillos y grupos abelianos al mismo tiempo:

Tomar el campo de polinomios racionales $F(x)$ $F$ Dónde está un campo. El mapa $x\mapsto x^2$ define un homomorfismo del anillo de $F(x)\to F(x)$ cual es necesariamente inyectiva (ya $F(x)$ es un campo) pero no en (su imagen es $F(x^2)$. La imagen es una copia isomorfa de $F(x)$ estrictamente contenido en $F(x)$.

Por supuesto, esto significa que hay una infinita cadena estrictamente descendente de isomorfos copias...

Answer 2

$\mathbb{Z} \cong n \mathbb{Z}$ mediante el isomorfismo de grupo definido por $\varphi (k) = nk$ $k,n \in \mathbb{Z}$, por supuesto.