Cómo apreciar la geometría de Riemann

Question

Actualmente estoy siguiendo una introducción a la geometría riemanniana, es decir, conexiones, curvatura e inmersiones isométricas (las ecuaciones de Gauss, Codazi y Ricci).

La introducción a la geometría riemanniana me parece interesante, pero siempre que miro algunos teoremas más allá de los temas introductorios me parecen bastante artificiales y poco intuitivos. Además, no veo por qué son interesantes para nosotros.

Hay muchos ejemplos, uno de ellos es el lema de Schur que dice lo siguiente:

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana de dimensión $n \geq 3$ . Supongamos que para cada plano $\pi$ en $T_pM$ , $K(\pi)$ (la curvatura seccional) tiene el mismo valor $c(p)$ . Entonces $c(p)$ es una función constante.

En primer lugar, el teorema sólo funciona en $n\geq 3$ pero mi principal problema es que mi intuición vive en superficies en $\mathbb{R}^3$ donde sólo hay un plano $\pi $ en $T_pM$ . Por lo tanto, ¿cuál es la intuición detrás de este lema? ¿Cómo se puede ver la belleza de estos teoremas?

Sin embargo, esto es desafortunado, ya que la teoría de la geometría de Riemann es una rama popular de las matemáticas, lo que implica que mucha gente está interesada en ella (y probablemente vea la belleza de tales teoremas y problemas). El propósito de mi pregunta es conseguir alguna intuición o sentimiento para poder apreciar tales teoremas.

EDITAR 1: La pregunta, muy general, tiene subpreguntas más concretas:

1. ¿Por qué nos interesa la relación entre la curvatura y la forma de las variedades, qué importancia tiene?
2. ¿Cómo se puede intuir qué relaciones (en 1)) se pueden esperar y cuáles no? (por ejemplo, si las curvaturas seccionales son $\leq 0$ entonces para qué propiedades de $M$ se puede esperar).
3. Algunos teoremas sólo son válidos en determinadas dimensiones superiores, por ejemplo el lema de Schur anterior. ¿Cómo puede un matemático encontrar estos teoremas y pruebas?

EDITAR 2: Como se ha sugerido en un comentario, tal vez se pueda responder a estas preguntas dando ejemplos interesantes de los usos de la geometría de Riemann.

Answer 1

Con el ánimo de responder a una pequeña parte de tu gran pregunta con una imagen visual (y observando el aspecto meta de cubrir gradualmente el complicado colector de la geometría riemanniana con parches locales de coordenadas conceptuales), aquí está el ejemplo prototípico no trivial de transporte paralelo, ilustrando la holonomía (el transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado no es el mapa de identidad en el espacio tangente) y la curvatura (la holonomía alrededor de un triángulo geodésico en una superficie es la integral de la curvatura sobre el interior del triángulo):

Answer 2

El primer libro que debe consultar es el de Vladimir Arnold Métodos matemáticos de la mecánica clásica donde tiene una buena discusión introductoria sobre la geometría diferencial y la curvatura.

El lema que has citado no tiene consecuencias de gran alcance y no deberías centrarte en él. Una dirección de investigación que es bastante popular es la relación entre la curvatura y la topología. Hace relativamente poco tiempo (en la década de 1980) quedó claro que la curvatura seccional positiva impone condiciones extremadamente estrictas a la variedad; por ejemplo, se obtiene un límite superior universal en la suma de todos los números de Betti de la variedad por un resultado de Gromov. En curvatura negativa, por el contrario, hay una gran riqueza de ejemplos, relacionados también con el popular campo de los grupos hiperbólicos de Cannon-Gromov. En general, para motivarse sugeriría buscar trabajos de Gromov. Puede que no sigas todos los detalles (si es que los detalles están ahí :-) pero es probable que te inspires.

Answer 3

Tal vez esto ayude, ya que es bastante intuitivo: " Superficie en 3D que realiza todos los pares de curvaturas principales ": rizo de ángel superficie:

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