Cómo probar $\prod _{a=0}^{9}\prod_{b=0}^{100}\prod_{c=0}^{100}(w^a+z^b+z^c)\equiv?\pmod {101}$

Question

Que $z=e^{\dfrac{2\pi i}{101}},w=e^{\dfrac{2\pi i}{10}}$, Mostrar $$A=\prod _{a=0}^{9}\prod_{b=0}^{100}\prod_{c=0}^{100}(w^a+z^b+z^c)$ $ buscar $A\equiv ?\pmod {101}$

Supongo que este problema tal vez es problema de Estados Unidos, pero no puedo encontrarlo y no puedo resolverlo (este problema es de personas que me enviadas)

Answer 1

No hay fuentes oficiales, pero esto está de acuerdo con iF9n (half-numérico) solución aquí. Si $\omega$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad, a continuación,$$\prod_{k=0}^{n-1} (x - \omega^k) = x^n - 1$$ and so $$\prod_{k=0}^{n-1} (x + \omega^k) = (-1)^n \prod_{k=0}^{n-1} (-x - \omega^k) = (-1)^n ((-x)^n - 1) = x^n + (-1)^{n+1}.$$

Ahora tenemos $$\begin{align*} \prod_{a=0}^9 \prod_{b=0}^{100} \prod_{c=0}^{100} (w^a + z^b + z^c) &= \prod_{a=0}^9 \prod_{b=0}^{100} ( (w^a + z^b)^{101} + 1) \\ &\equiv \prod_{a=0}^9 \prod_{b=0}^{100} (w^{101a} + z^{101b} + 1) \pmod {101} \\ &= \prod_{a=0}^9 \prod_{b=0}^{100} (w^{a} + 2) \\ &= \left[ \prod_{a=0}^9 (w^a + 2) \right]^{101} \end{align*}$$ debido a $w^{100} = z^{101} = 1$ y los coeficientes binomiales $p \choose n$ $p$ prime, además de a ${p \choose 0} = {p \choose p} = 1$, son múltiplos de $p$.

El sistema modular de la reducción de aquí es sutil, como el binomio de expansión de $(w^a + z^b)^{101}$ contiene no-términos enteros. Pero cada término en la expansión, con la excepción de $w^{101a}$ $z^{101b}$ $101$ veces algún elemento en $\mathbb{Z}[w, z] = \mathbb{Z}[\omega_{1010}]$ donde $\omega_n$ $n$th raíz primitiva de la unidad. Por lo tanto, podemos interpretar "la reducción del modulo $101$" como la reducción de$\mathbb{Z}[\omega_{1010}]$$\mathbb{Z}[\omega_{1010}]/(101)$, lo que hace matar a todos los términos centrales en la expansión binomial. Tal reducción puede convertir a una no-entero (como, por ejemplo, $5 + 101 z$) en un entero, pero eso no es un problema aquí: $A$ es un entero algebraico y es invariante bajo la Galois automorfismos de a $\mathbb{Q}[e^{2\pi i/1010}]/\mathbb{Q}$ $\omega_{1010} \mapsto \omega_{1010}^k$ (que también tome $\omega_{10} \mapsto \omega_{10}^k$ $\omega_{101} \mapsto \omega_{101}^k$ donde $\gcd(k, 1010) = 1$—gracias a Erick Wong en los comentarios para hacer hincapié en esto), por lo $A \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{Z}[\omega_{1010}] = \mathbb{Z}$, y la reducción del modulo $101$ no falsamente gire $A$ en un entero.

Finalmente, $$\prod_{a=0}^9 (2+w^a) = 2^{10} - 1 = 1023,$$ so the whole expression (by Fermat's little theorem) is congruent to $1023^{101} \equiv 1023 \equiv 13 \pmod {101}$.