Incontabilidad de secuencias de crecimiento rápido de números enteros positivos

Question

Encontré este problema pero no pude resolverlo. No sé qué es lo que me falta. Aquí está:

Una secuencia de números enteros positivos $\{b_i\}_{i = 0}^\infty$ se llama crecimiento más rápido que $\{a_i\}_{i = 0}^\infty$ si $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = 0$ . Que el conjunto $H$ satisface la siguiente condición: para toda secuencia $\alpha$ existe otra secuencia $\beta \in H$ tal que $\beta$ crece más rápido que $\alpha$ . Demostrar que $H$ es incontable.

He intentado encontrar algunas propiedades fundamentales de este tipo de secuencias, pero sin éxito. Cualquier ayuda se agradecería.

Answer 1

Una pista: Utiliza una variante del argumento de diagonalización de Cantor. Supongamos por el contrario que las funciones en $H$ puede figurar como $h_0,h_1,h_2,\dots$ . Obtenga una contradicción modificando la diagonal (mediante una suma adecuada) para que crezca más rápido que cualquier cosa en $H$ .

Observación: Hay buenas razones para pensar que el argumento de la diagonalización, tan íntimamente asociado a Cantor, fue de hecho utilizado por primera vez por du Bois-Reymond, precisamente en este escenario de análisis de los órdenes de crecimiento.

Answer 2

La forma de demostrar que $H$ debe ser incontable es demostrar que si $S$ es cualquier conjunto contable de secuencias, existe una secuencia que crece más rápido que cada secuencia en $S$ .

Dejemos que $S=\{\sigma_n:n\in\Bbb N\}$ sea un conjunto contable de secuencias de enteros positivos. Para $n\in\Bbb N$ dejar $\sigma_n=\left\langle m^{(n)}_k:k\in\Bbb N\right\rangle$ los superíndices son sólo etiquetas para identificar a qué secuencia pertenece un término, no son exponentes. Ahora construya una nueva secuencia $\sigma=\langle m_k:k\in\Bbb N\rangle$ al establecer

$$m_k=k\max_{i\le k}m^{(i)}_k\;,$$

y verificar que $\dfrac{m_k}{m^{(i)}_k}\ge k$ para todos $k\ge i$ para que $\dfrac{m^{(i)}_k}{m_k}\le\dfrac1k$ pour $k\ge i$ y por lo tanto

$$\lim_{k\to\infty}\frac{m^{(i)}_k}{m_k}=0$$ para cada $i\in\Bbb N$ .

En particular, si $H$ fueran contables, podríamos encontrar una secuencia que creciera más rápido que cualquier secuencia en $H$ contradiciendo la hipótesis sobre $H$ .