Después de la indicación de la solución, voy a tratar de dar algunas ideas físicas al mejor de mi conocimiento y algunos más referencias.
La dimensión del estado requerido espacio está dada por la Verlinde fórmula, que tiene la siguiente forma general compacto de Lie semisimple grupo $G$ en una superficie de Riemann con género $g$ correspondiente al nivel de $k$:
$$ \mathrm{dim} V_{g,k} =(C (k+h)^r)^{g-1} \sum_{\lambda \in \Lambda_k}\prod_{\alpha \in \Delta}(1-e^{i\frac{\alpha .(\lambda+\rho)}{k+h}})^{(1-g)}$$
(Por favor, consulte Blau y Thompson ecuación 1.2.). Aquí, $C$ está a la orden del centro, $h$ es de doble Coxeter invariante, $\rho$ es la mitad de la suma de los positivos raíces, y $r$ es el rango de $G$. $g$ es el género, $\Delta$ es el conjunto de raíces y $\Lambda_k$ es el conjunto de integrable mayor peso de la Kac-Moody álgebra $G_k$.
Para el toro ($g=1$), esta fórmula se simplifica a:
$$ \mathrm{dim} V_{\mathrm{Torus},k} = \# \Lambda_k $$
es decir, la dimensión es igual al número de integrable mayor peso de la Kac-Moody álgebra $G_k$.
La integrable mayor el peso de un nivel-$k$ Kac-Moody álgebra están dadas por las siguientes restricciones:
$$ \lambda - \mathrm{dominant}, 0 \leq \sum_{i=1}^r \frac{2 \lambda. \alpha^{(i)}}{ \alpha^{(i)}. \alpha^{(i)}}\leq k$$
Donde $ \alpha^{(i)}$ son simple raíces, por favor véase, por ejemplo, la siguiente revisión por Fuchs en Kac-Moody álgebras.
(Mi favorito de referencia para la teoría de la representación de Kac-Moody
álgebras es el centro Goddard de Oliva y de revisión, que parece no disponible en línea)
Por ejemplo, para $SU(3)_k$ cuya dominante pesos se $2$-tuplas de números no negativos $(n_1, n_2)$, la condición anterior se reduce a:
$$\mathrm{dim} V^{SU(3)}_{\mathrm{Torus},k} = \# (n_1\geq 0, n_2\geq 0, 0\leq n_1 + n_2 \leq k )= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
Para realizar los cálculos para los casos más generales, se puede utilizar el
seminal de revisión por Slansky.
El Verlinde fórmula fue descubierta antes de la Chern-Simons teoría de vino en el mundo. Originalmente es la dimensión del espacio de conformación de bloques para la WZW modelo. Esta fórmula ha sido derivado en una gran variedad de formas, por favor, véase la nota de pie de página 26 en la Fuchs revisión. Es todavía un tema de investigación activa, por favor véase, por ejemplo, una nueva derivación en este artículo reciente por Gukov.
El Chern-Simons teoría puede ser la más sofisticada ejemplo en el que la Dirac postulados de cuantización puede llevarse a cabo en el espíritu. (Más precisamente, su generalización geométrica de cuantización). Me refiero a que a partir de un espacio de fase y la utilización de un conjunto determinado de reglas para asociar un espacio de Hilbert. En el caso de la Chern-Simons teoría, el espacio de fase es el conjunto de soluciones de las ecuaciones clásicas de movimiento. Las ecuaciones clásicas de movimiento requieren de la intensidad de campo a desaparecer, en otras palabras, la conexión a ser plana.
Esta fase de espacio (el espacio de moduli de planos de conexiones) es finito dimensional, tiene un Kähler estructura y se puede geométricamente cuantificada como un Kähler colector, como el caso del oscilador armónico. Por tanto, el problema puede ser reducido, en principio, un problema en la mecánica cuántica.
El caso de el toro es el más fácil porque todo lo que puede ser llevado a cabo de manera explícita en el Abelian y la no-Abelian caso, por favor consulte la
siguientes construcción explícita por Bos y Nair, (una forma más concisa tratamiento aparece en
Dunne revisión).
En el caso de el toro, el espacio de moduli de planos de conexiones en el
Abelian caso es también un toro y en la no-Abelian caso es:
$$\mathcal{M} = \frac{T \times T}{W}$$
donde $T$ es la máxima toro de $G$. Básicamente, una cuantización de Fock se puede llevar, pero no es una restricción mayor en el total admisible de las funciones de onda proveniente de la invariancia requisito en virtud de la gran calibre transformaciones (por favor, véase, por ejemplo, la Dunne revisión ). El invariante de las funciones de onda son llamados no-Abelian theta funciones y que son sólo en una correspondencia uno a uno con el Kac-Moody álgebra integrable más alto de pesos. (En el Abelian caso, las funciones de onda son los Jacobi funciones theta).
En la mayor genero caso, aunque la cuantificación de programa que conduce a la
el Verlinde fórmula puede ser llevado a cabo, en principio, algunos explícitos los resultados son conocidos, por favor, consulte el siguiente artículo de Lisa Jeffrey (y también las siguientes notas de la conferencia). La dimensión de estos espacios de moduli es conocido. Además. Witten en un ingenioso trabajo calculada sus simpléctica los volúmenes y su cohomology anillo en algunos casos.
Witten la idea es que como en el caso de una simple tirada, la dimensión del espacio de Hilbert en el semiclásica límite ($k \rightarrow \infty$) se vuelve proporcional al volumen y el exponente principal de la $k$ es la compleja dimensión del espacio de moduli (por favor, observar por ejemplo, que en el caso de $SU(3)$ sobre el toro, el exponente principal es $2$ que es el rango de $SU(3)$ cual es la dimensión de la máxima torus $T$).
