Según Einstein, el espacio-tiempo es curvo y el origen de la curvatura es la presencia de la materia, es decir, la presencia de la energía-impulso tensor $T_{ab}$ en las ecuaciones de campo de Einstein. Si nuestro universo fueron vacío (es decir, $T_{ab}=0$ y la constante cosmológica $\Lambda$ está ubicada a $0$), entonces yo esperaría sólo en el plano de la solución a las ecuaciones de campo de vacío $$R_{ab}=0$$ Sorprendentemente hay no plana (o no triviales) las soluciones a las ecuaciones anteriores, por ejemplo la solución de Schwarzschild. Esto entra en conflicto con el hecho de que la materia curva el espacio-tiempo, así que ¿cuál es el origen de la curvatura de estas soluciones no triviales? Entiendo que matemáticamente $R_{ab}=0$ (Ricci-planitud) no implica que la métrica es plana, es decir, no trivial soluciones son formalmente admisibles, pero no entiendo cómo esto se explica físicamente.
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El Newtoniano de vacío campo de la ecuación de $\nabla^2 \phi = \rho$ donde $\phi$ es el potencial gravitacional y $\rho$ es proporcional a la densidad de la masa también tiene un no-trivial de soluciones de vacío, por ejemplo, $\phi = -1/r$ $r$ fuera de algunos de superficie esférica. Las ecuaciones de Maxwell también tiene soluciones no triviales. En electrostática, precisamente la misma gravitación clásica, en elctrodynamics, también radiativo de soluciones de diversos tipos.
No es extraño que un campo de la teoría de la no-trivial de soluciones de vacío. Desde un punto de vista matemático, si no, no sería posible resolver problemas de valor de frontera de lo contrario. Físicamente, un campo (local) teoría se supone para proporcionar una manera para que espacialmente separados de la materia para interactuar sin espeluznante acción a distancia. Si las interacciones no fueron capaces de propagarse a través de una región de vacío tendríamos una muy aburrido teoría del campo!
Si queremos ser un poco más específico de la relatividad general, tengamos en cuenta que esta teoría consta en realidad de dos ecuaciones de campo. La más famosa de Einstein, $$ R_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} $$ el que dice que la materia es la fuente para el campo $\Gamma^{\mu}{}_{\nu\sigma}$ -- los símbolos de Christoffel. Esta ecuación solo no contiene la caracterización fundamental de la relatividad general. Es sólo una ecuación para el campo. Para este campo, corresponden en realidad a la curvatura debe cumplir también con la identidad de Bianchi$$ R_{\mu\nu[\sigma\tau;\rho]} = 0. $$
La identidad de Bianchi es redundante si los símbolos de Christoffel se definen de la manera que están en términos de la métrica. Esto es en realidad análoga con la electrodinámica (y por una muy buena razón, porque ED es también una teoría de la curvatura). Las ecuaciones de Maxwell son $$F^{\mu\nu}{}_{,\nu} = j^\mu $$ $$F_{[\mu\nu,\sigma]} = 0$$ y de la primera ecuación es la que las parejas que el campo electromagnético de la materia. La segunda ecuación es redundante si $F_{\mu\nu}$ se define en términos del vector potencial.
Ahora, el campo electromagnético tiene 6 componentes, pero como usted puede ver, sólo 4 de ellos realmente a la par de la materia directamente. La segunda ecuación representa la libertad para el campo electromagnético para propagar en el vacío. (De hecho, si usted hace el análisis de Fourier para encontrar la radiación soluciones a las ecuaciones de Maxwell la primera sólo le dice que la radiación es transversal, y el segundo es el que realmente determina la radiación.) Los componentes son, naturalmente, no es independiente, ya que la materia y la radiación interactuar, pero creo que esta es una buena manera de pensar en el por qué de las clásicas ecuaciones de Maxwell $$\begin{matrix} \nabla \cdot \mathbf{E} = & \sigma\\ \nabla \cdot \mathbf{B} = & 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = & -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} = & \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \end{de la matriz}$$ dos involucrar sólo a los campos y a los dos afectan a la materia.
Del mismo modo para la relatividad general de Einstein, en la ecuación de campo de Einstein $$R_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$ asunto sólo a las parejas a 10 componentes de los 20 componentes en la curvatura de Riemann tensor. (El tensor de Riemann es el físicamente observable cantidad en la teoría general de la relatividad.) El otro 10 componentes del tensor de Weyl. Ellos son la parte del campo gravitacional que está presente en el vacío, por lo que debe incluir, al menos, el potencial Newtoniano. Por analogía con la electrodinámica también incluyen la radiación gravitatoria.
En el caso específico de la Schwarschild y Kerr métricas, no sólo son todos los componentes del tensor de Ricci 0, uno puede de hecho los arreglos para que todos los componentes del tensor de Weyl, excepto uno que es 0 también. Este es un tipo de análogo a cómo en la electrostática, usted siempre puede elegir el medidor de modo que el vector potencial de $\mathbf A = 0$. Tal vez usted puede pensar en esto como diciendo que estos indicadores no irradian, por lo que sólo la parte del campo gravitacional cuyo límite es el potencial Newtoniano existe. (Pero hay que irradia métricas con la misma propiedad, por lo que tal vez esta no es una buena manera de pensar.).
Hay otras vacío métricas de donde menos del tensor de Weyl componentes puede ser realizado 0, o algún indicador de la libertad de los restos. Es común clasificar las métricas a lo largo de este programa, que se llama Petrov tipo. En un famoso artículo Newman y Penrose muestran que la Petrov tipo de radiación gravitatoria tiene un campo cercano a la transición de la zona de radiación de la zona de comportamiento, donde más componentes del tensor de Weyl convertido en irrelevante el más alejado de la fuente de ir. (Esto es análogo a la electrodinámica de nuevo, ya que en la zona de radiación de los campos EM es transversal, pero en el campo cercano no lo es.)
Si se considera en primer lugar la métrica de Schwarzschild describir el espacio exterior de una esfera en la no-cero radio, la curvatura de Ricci es, de hecho, cero fuera de la esfera y, de hecho, el estrés tensor de energía también es cero allí.
El agujero negro es el límite de la toma de la radio de la esfera a cero. En ese caso, tanto la curvatura de Ricci y el estrés-tensor de energía son cero fuera de la singularidad, pero la masa todavía puede estar presente debido a que el tensor de Ricci es indefinido en la singularidad, que es el único lugar en el que la tensión de la energía tensor es distinto de cero.
Además de las otras respuestas aquí, me gustaría añadir que su intuición habría sido en blanco a la derecha en dimensiones inferiores ( $2+1$ $1+1$ ). Allí, $T_{ab}=0$ $\Lambda=0$ no implica (a nivel local) espacio plano (aunque no trivial topológico efectos aún son posibles).
En $3+1$ (y más alto) dimensiones de la geometría no está definida únicamente por tensor de Ricci. Aquí, se puede separar de la curvatura del tensor totalmente traceless parte: tensor de Weyl que puede ser pensado como describir puramente gravitacional dinámica grados de libertad.
La existencia de tales grados de libertad se pone de manifiesto en el fenómeno de la radiación gravitatoria.
Un punto es que el estrés de la energía tensor $T_{ab}$ no se conserva (ver Wiki). Esto es debido a que la gravedad tiene su propio estrés de la energía (pseudo) tensor $t_{ab}$, aunque siempre podemos elegir un marco como $t_{ab}=0$ para un determinado espacio de tiempo de punto. Sólo la suma de las dos, (hasta un factor de $g$ si tomamos el de Landau–Lifshitz pseudotensor) se conserva : $(-g (T^{ab} + t^{ab}_{LL})),_b=0$
Si nos fijamos en el complicado expresión de $t^{ab}_{LL}$, uno ve que implica cuadrática cantidades de primera derivados de la métrica tensor $g_{ab}$ (y la métrica tensor de sí mismo y de su inversa)
La curvatura de Riemann $R_{abcd}$, por definición, depende de las segundas derivadas, cuadrática y cantidades de primera derivados, de la métrica tensor (y la métrica tensor de sí mismo y de su inversa).
Entonces, si consideramos un "vacío" de la solución de $R_{ab}=0$, lo $T_{ab}=0$, pero con $t^{ab}_{LL}$ no es cero y no ser constante, por ejemplo, las ondas gravitacionales, esto significa que el primer derivados de la métrica tensor no son cero, y no hay ninguna razón general, razón por la curvatura de Riemann $R_{abcd}$, hizo de la primera y segunda derivadas de la métrica del tensor, debe ser igual a cero (salvo casos triviales).
[EDITAR]
Hablando con rigor, uno tiene que calcular los grados de libertad para el tensor de curvatura $R_{abcd}$ y el tensor de Ricci $R_{ab}$. Resulta, que, en un espacio-tiempo de la dimensión $\geq 4$, la libertad grados de $R_{abcd}$ son mayores que los grados de libertad para $R_{ab}$, por lo que no es suficiente "lugar" para Ricci-plano espacio-tiempo con los no-null curvatura.
