Tengo el siguiente tarea problema:
Deje $(X_n)_{n \geq 0}$ ser una cadena de Markov en el espacio de estado $\lbrace0,1,...\rbrace$. Escrito $p_i := p_{i,i+1}$$q_i := p_{i,i-1}$, las probabilidades de transición son $$p_0 = 1, \qquad \mathrm{and}\quad p_i + q_i =1, \quad \frac{q_i}{p_i} = \left(\frac{i}{i+1}\right)^2 \mathrm{for} \; i \geq 1$$
Se me pide que muestran que casi seguramente tenemos $X_n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$.
[Por cierto, me gustaría comprobar mi definición de casi seguro de que la convergencia en este caso: yo diría que $X_n \rightarrow \infty$ casi seguramente sólo cuando para cada $K\geq 0$ hay $N=N_K$ tal que $\mathbb{P}(X_n \geq K \;| \;n \geq N) = 1.] $
Es fácil ver que $p_i > 1/2$ todos los $i$. El resultado es entonces creo que intuitivamente claro en comparación a la asimétrica de paseo aleatorio en el mismo espacio de estado con $p_i = p > 1/2$ todos los $i$; el límite en ese caso, es una consecuencia de la fuerte ley de los grandes números.
Ahora, escriba la probabilidad de golpear $h_i^k := \mathbb{P}(X_n = k \textrm{ for some }n \geq 0 \; | \; X_0 = i)$. Creo que el resultado sería si yo pudiera demostrar que
(a) cuando $i \leq k$ tenemos $h_i^k = 1$, y
(b) para cualquier k fijos, tenemos $\lim_{i \rightarrow \infty} h_i^k = 0$
Preguntas:
(1) ¿el resultado, de hecho, sigue de (a) y (b)?
(2) (b) es clara. Cómo puede uno mostrar (a)?
