La magia de la transferencia existencial

Question

Ayer terminé de corregir el examen final de un curso de cálculo infinitesimal impartido a 130 estudiantes de primer año. Uno de los problemas del examen consistía en demostrar que si una función $f$ es diferenciable en $c\in\mathbb{R}$ y satisface $f'(c)>0$ entonces hay un punto $x>c$ tal que $f(x)>f(c)$ . Uno de los alumnos aportó una solución original. Si $\alpha>0$ es infinitesimal entonces $st(\frac{f(c+\alpha)-f(c)}{\alpha})>0$ y se deduce fácilmente que $f(c+\alpha)-f(c)>0$ . De ahí el hiperrealismo $x=c+\alpha$ satisface $f(x)>f(c)$ y por tanto se cumple la siguiente fórmula sobre los hiperreales: $$(\exists x)\;f(x)>f(c).$$ Ahora, por transferencia existencial, la misma fórmula vale para los reales. Por lo tanto existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)>f(c)$ QED.

¿Existen otros ejemplos de transferencia existencial a este nivel?

Answer 1

Sea $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ sea una función (definible en primer orden) de soporte finito $\{1, 2, \dots, m \}$ (es decir, una secuencia finita), y transferirla a $^* f$ de $^* \mathbb{N}$ a $^* \mathbb{R}$ . Entonces, como existe $n$ tal que $f(n)$ se minimiza, también debe existir $m$ en $^* \mathbb{N}$ tal que $^*f(m)$ se minimiza. Esto puede utilizarse para hacer una bonita demostración del teorema del valor intermedio.

Primero necesitaremos la definición de función continua. A saber, $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ es continua en $x \in \mathbb{R}$ si $^*f(y)$ está infinitesimalmente cerca de $^*f(x)$ para todos $y$ infinitesimalmente cerca de $x$ .

Sea $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ sea continua. Sea $x: \{0, 1, 2, \dots, k\} \to \mathbb{R}$ se define por $x_i = \frac{b-a}{i} + a$ - es decir, hacer una partición del intervalo $[a, b]$ .

Ampliar $f$ a $^* f$ de $^*[a,b]$ a $^*\mathbb{R}$ y ampliar $x$ de la misma manera.

Considere $\{ z: \text{st}(^*f(x_z)) > 0 \}$ un conjunto de enteros hiperfinitos. Este tiene un elemento mínimo $\bar{z}$ digamos.

Ahora $\text{st}(^*f(x_{\bar{z}})) \geq 0$ por construcción.

Por otra parte, si $\text{st}(^*f(x_{\bar{z}})) > 0$ entonces tendríamos $x_{\bar{z}-1}$ siendo infinitesimalmente menor que $x_{\bar{z}}$ Así que $^*f(x_{\bar{z}-1})$ tendría la misma parte estándar que $\text{st}(^*f(x_{\bar{z}}))$ - es decir, mayor que cero - contradiciendo la minimalidad de $\bar{z}$ .

Por lo tanto $\text{st}(^*f(x_{\bar{z}})) = 0$ Así que $f(\text{st}(x_{\bar{z}})) = 0$ (de nuevo por continuidad).

Answer 2

Se puede colorear un mapa plano infinito con 4 colores de manera que ninguna cosa adyacente tenga el mismo color.

Para cada par de países, $c_1$ y $c_2$ se tiene un enunciado de la forma $c_1$ es adyacente a $c_2$ o $c_1$ no es adyacente a $c_2$ . Tome cada uno de estos enunciados, junto con el enunciado "el gráfico se puede colorear con cuatro colores". Si cada conjunto finito de afirmaciones es satisfactible por una porción finita del grafo, existe un grafo no estándar que satisface todas esas afirmaciones por el principio de saturación. Dado que este grafo hiperfinito contendrá cada nodo del grafo infinito original, el grafo original también será coloreable en cuatro colores.