Una ruta de acceso conectado a prueba en $\mathbb{R}^2$

Question

Estoy tratando de demostrar que si $U \in \mathbb{R}^2$ está abierto y la ruta de acceso conectado, a continuación, para un punto de $ p \in U$ tenemos $U \smallsetminus \{p\}$ todavía ruta de acceso conectado.

Empieza por tomar $x,y \in U$. Como ruta de acceso conectado existe continuas $\gamma : [0,1] \to U$ tal que $\gamma (0) = x$$\gamma(1) = y$.

Tome $p \in U$.

Si $p$ no está en el camino de $\gamma$. A continuación, $x$ $y$ son todavía ruta de acceso conectado.

Si $p$ está tirado en el camino de $\gamma$ $U$ es abierto, existe un $\delta >0$ de manera tal que el balón $B(p,\delta) \subset U$. El camino de $\gamma$ cruza el límite de esta bola. Ahora se puede crear una nueva ruta que atraviesa ronda el borde de la bola. Por lo tanto $x$ $y$ son todavía ruta de acceso conectado.

Es esto una prueba válida? Puede alguien pensar de una manera más sencilla de hacerlo?

Answer 1

Este es un comentario: ¿qué pasa si uno o ambos $x, y$ están dentro de la open nbd te han elegido?

agregó ¿qué tal esto: elija un punto de $q$ diferente de la $p$ y considerar el conjunto de puntos en $U-\lbrace p \rbrace$ que puede ser la ruta de acceso conectado a $q$. Este conjunto y su complemento son abiertos. Si el complemento no está vacía, a continuación, va a proporcionar una separación de $U$.

Answer 2

Su idea es buena, pero la prueba no es lo suficientemente riguroso.

1. Usted debe elegir a $\delta>0$ tal que $\delta < \min\{\|x-p\|, \|y-p\|\}$ $B(p,c\delta)\subset U$ algunos $c>1$. La primera condición es necesaria porque desea conservar $x$ $y$ fuera de abrir el disco. La segunda condición es necesaria, de lo contrario el límite de $B(p,\delta)$ no puede mentir dentro de $U$.
2. Como Chris Águila menciona en su comentario, la ruta de acceso original $\gamma$ puede cruzar el disco está cerrado, $\bar{B}(p,\delta)$ varias veces. Así que usted debe considerar el primer punto de entrada de $t_1 = \inf\{t: \|\gamma(t)-p\|\le\delta\}$ y en el último punto de salida $t_2 = \sup\{t: \|\gamma(t)-p\|\le\delta\}$. Usted debe mostrar que estos infinum y supremum son alcanzables mínimo y el máximo. A continuación, puede quitar la parte de $\gamma$ $[t_1,t_2]$ y reemplazarlo por un arco circular en el límite de $B(p,\delta)$.