Theta parámetro de QCD: Muy pequeño, periódico en $2\pi$ o ambos?

Question

He estado aprendiendo acerca de la teta del parámetro de QCD y estoy confundido sobre el hecho de que se supone que debe de ser muy pequeña, pero, al mismo tiempo, algunas fuentes dicen que el Yang-Mills teoría debe ser invariante a 2$\pi$ cambios en la $\theta$

Fuentes que dice que $\theta$ es pequeña:

(1)El CP de Rompecabezas en las Interacciones Fuertes (Consulte la página 6)

(2) TASI Conferencias sobre El Fuerte CP Problema (Consulte la página 19)

Fuentes que dicen que el Yang-Mills teoría es invariante bajo $2\pi$:

(3) Notas sobre la Supersimetría (Consulte la página 6)

(4) No-Perturbativa de la Dinámica De las Cuatro Dimensiones de la Supersimétricas Campo de las Teorías (Ver página 4)

Ahora la fuente (1) (entre otros) nos dice que existe un término de la forma:

$\theta n = \theta (1/32 \pi^2) \int d^4 x \ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \ F^a_{\mu\nu} F^a_{\rho\sigma}$

en el Lagrangiano de nuestro QCD, donde el $\int d^4 x \ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \ F^a_{\mu\nu} F^a_{\rho\sigma}$ parte da la violación CP. Por lo tanto requerimos $\theta = 0$ si no quieren CP violación. Sin embargo, para mí esto implica que la teoría no es invariante bajo un cambio en $2\pi$ $\theta$ $\theta = 2\pi$ no haría el plazo mencionado desaparecer (que acabaría con $2\pi n$ en lugar de $0 \times n = 0$).

Del mismo modo, ¿cómo podemos decir que $\theta$ tiene que ser pequeño si $\theta$ puede ser cambiado por cualquier múltiplo de $2\pi$ a dar la misma teoría? Es el caso que cuando decimos '$\theta$ es pequeña " nosotros en realidad significa '$\theta$ modulo $2\pi$ es pequeña". También se da el caso de que la ecuación anterior de alguna forma desaparece para todos los valores de $\theta$ que son múltiplos de $2\pi$, y no sólo a $\theta = 0$?

Theta vacío efectos en QCD diagrama de fase - página 2 parece implicar que el CP violar término desaparece para todo valor de $\theta$ que son múltiplos de $\pi$.

Answer 1

Recuerde que la theta término aparece en un exponencial $e^{i\theta n}$ dentro de la ruta integral. Si $\theta n$ cambios $2\pi N$, para cualquier entero $N$, la exponencial es igual que antes, y todo el camino integrales tienen el mismo valor.

La integral de la $n = \frac{1}{32\pi^2} \int F \wedge F$ no es arbitraria. Es un invariante topológico, y es normalizado, por lo que será un número entero. En efecto, en el plano de $\mathbb{R}^4$ con su normalización, es igual a $2 \nu$ donde $\nu \in \mathbb{Z}$ es el instanton número. (Usted puede encontrar el argumento en Weinberg, Vol II, p 450-2.) Pero por ahora vamos a tomar como sentado que ese $n$ es siempre de valor entero. Se deduce entonces que el cambio de $\theta \to \theta + 2\pi M$ para cualquier entero $M$ envía $e^{i\theta n}$$e^{i\theta n + i 2\pi M n} = e^{i\theta n}$.

Lo que significa que sólo el valor de $\theta$ mod $2\pi$ afecta a la física. Así que cuando alguien dice que $\theta$ es pequeño, lo que significa que $\theta$ mod $2\pi$ es pequeño, como lo has adivinado.