Demuestra que la suma $1^k+2^k+ \cdots +n^k$ donde $n$ es un entero arbitrario y $k$ es impar, es divisible por $1+2+ \cdots +n$ .

Question

Demuestra que la suma $$1^k+2^k+ \cdots +n^k$$ donde $n$ es un entero arbitrario y $k$ es impar, es divisible por $1+2+ \cdots +n$ .

Pregunta

En la solución de este problema lo divide en dos casos: ( $1$ ) $n$ es un número entero parejo ( $2$ ) y $n$ es un entero impar. En el caso de que $n$ es un entero impar que dice lo siguiente: $$1^k+n^k,2^k+(n-1)^k,3^k+(n-2)^k, \ldots , \left ( \dfrac {n-1}{2} \right )^k + \left ( \dfrac {n+3}{2} \right )^k \left ( \dfrac {n+1}{2} \right )^k$$ son todos divisibles por $ \dfrac {n+1}{2}$ .

Entiendo cómo los términos iniciales son todos divisibles por $ \dfrac {n+1}{2}$ pero ¿hicieron un error de imprenta cuando dijeron $ \left ( \dfrac {n+3}{2} \right )^k \left ( \dfrac {n+1}{2} \right )^k$ ? Si no, entonces ¿cómo es $ \left ( \dfrac {n-1}{2} \right )^k + \left ( \dfrac {n+3}{2} \right )^k \left ( \dfrac {n+1}{2} \right )^k$ divisible por $ \dfrac {n+1}{2}$ ?

Answer 1

Usando Prueba de $a^n+b^n$ divisible por a+b cuando n es impar ,

$$r^k+(n-r)^k$$ es divisible por $r+n-r=n$ como $k$ es impar

$$ \implies\sum_ {r=1}^n(r^k+(n-r)^k)$$ será divisible por $n$

De la misma manera,

$$ \sum_ {r=1}^n(r^k+(n+1-r)^k)$$ será divisible por $r+n+1-r=n+1$

$$ \implies\sum_ {r=1}^n(r^k+(n+1-r)^k)=2 \sum_ {r=1}^n r^k$$ será divisible por lcm $(n+1,n)$