¿Por qué introductorio real análisis de los cursos de abajo hacia arriba?

Question

Una gran parte de la introductorio análisis real de los cursos es conseguir que la intuición de la $\epsilon-\delta$ pruebas. Por ejemplo, estos tipos de pruebas subido mucho a la hora de estudiar la diferenciación, la continuidad y la integración. Sólo más tarde es la noción de abiertos y conjuntos cerrados introducido. ¿Por qué no acaba de introducir la continuidad en términos de abrir los conjuntos de primera (por ejemplo, sería una mejor representación visual)? Parece que el $\epsilon-\delta$ definición sería más comprensible si un estudiante es expuesto por primera vez el conjunto abierto caracterización.

Answer 1

Aunque nunca he tenido ninguna dificultad con el $\epsilon$-$\delta$ definición, me encontré con que la continuidad se hacen mucho más sentido después de que me encontré con el general topológica de la configuración. Sin embargo, terminé un conjunto teórico topologist; después de unos cuarenta años de la enseñanza de las matemáticas, estoy bastante seguro de que esto es una minoría de la experiencia. También estoy bastante seguro de que no hay una sola respuesta correcta a la pregunta de cómo enseñar la continuidad en una primera aproximación rigurosa: la respuesta depende no sólo del individuo, sino también en las preferencias del instructor. Yo creo que vale la pena ser conscientes de la amplia gama de posibilidades y algunas de sus fortalezas y debilidades.

Estoy familiarizado con cinco enfoques para la enseñanza de la continuidad en un riguroso moda.

1. El tradicional $\epsilon$-$\delta$ enfoque. Esto tiene la ventaja abrumadora de universal familiaridad y uso, y la clara desventaja de que mientras la intuición subyacente de la continuidad de la covariante $-$ si $x$ es cerca de $a$, $f(x)$ está cerca de $f(a)$ $-$ la definición es contravariante. La definición también es $\forall\exists\forall$, lo que lógicamente es bastante complejo. Por otro lado, se utiliza el hormigón, las medidas cuantitativas de la aproximación, que para muchos estudiantes es un plus, y su conexión con el uniforme de la continuidad (y otras formas más fuertes de la continuidad) es sencillo.

2. Las secuencias de primera, con $\epsilon$-$N$, a continuación, $f$ es continua iff conserva los límites de las secuencias. Las principales ventajas son que una secuencia es un simple tipo de función cuya convergencia es fácilmente visualizado ('que finalmente consigue dentro de un determinado $\epsilon$-nbhd y permanece allí'), y que la definición de la continuidad es covariante. También es relativamente fácil, finalmente, pasar a la $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad. El problema con este enfoque es que la "delgadez" de secuencias tiende a ocultar lo que realmente está pasando, es decir, que todo lo cerca de $a$ es enviado cerca de $f(a)$. Asimismo, no generalizar bien a los uniformes de la continuidad, para decirlo suavemente.

3. Abierto conjuntos. En todos los casos, esto es simplemente demasiado abstracto para la mayoría de los estudiantes en un primer riguroso encuentro con continuidad. Si trabajamos sólo con las funciones en los reales y nos limitamos a abrir los intervalos, que en realidad no es muy diferente de la de $\epsilon$-$\delta$ enfoque. Se puede hacer que parte de la teoría sólo un pelo más simple, pero la principal ventaja es que hace que la generalización a $\mathbb{R}^n$ más fácil: abrir las cajas son más convenientes que abrir (Euclidiana) bolas. Por otro lado, abierta en general los intervalos no son tan concreto de la noción de aproximación como $\epsilon$-nbhds.

4. Un resumen de la cercanía de la relación. Este enfoque fue descrito en P. Cameron, J. G. Hocking y S. A. Naimpally, Cercanía $-$ Un Mejor Enfoque de la Continuidad y Límites, La American Mathematical Monthly, Vol. 81, Nº 7 (Ago. - Sep., 1974), pp 739-745]. Tiene la ventaja de una covariante definición de continuidad, de tratar a la convergencia de las secuencias como otro ejemplo de la continuidad, y de tener un muy intuitiva que sustentan. Tiene la desventaja de estar muy fuera de lo corriente, de modo que uno debe eventualmente derivar la más habitual de las caracterizaciones de la continuidad de todos modos. Uno paga por el más intuitivo introducción por tener que dedicar más tiempo a introducir el enfoque estándar, y no me queda claro si hay un beneficio neto. Uno definitivo fuerza de este enfoque, sin embargo, es que los rendimientos de los uniformes de la continuidad de un modo muy sencillo: simplemente se sustituye la noción de un punto de estar cerca de un conjunto con la noción de un conjunto de cerca de otro conjunto, por lo tanto, obtener una proximidad espacial.

5. Infinitesimals. El ejemplo clásico de este enfoque es el H. Jerome Keisler, Elementales de Cálculo: Un Infinitesimal Enfoque; otro ejemplo es Keith Stroyan, Fundamentos del Cálculo Infinitesimal. Casi todo lo que he dicho acerca de la cercanía enfoque también aquí se aplica, incluyendo la facilidad de la definición de continuidad uniforme. Las diferencias principales son que los preliminares son un poco más complicadas, pero la rentabilidad es en mi opinión un poco mayor: riguroso infinitesimals, creo yo, más útil que la axiomatized noción de cercanía (4).

Hay un fuerte argumento pragmático para (1) o (2), especialmente en una escuela que tiene un montón de estudiantes de transferencia. Uno puede hacer bastante bueno pædagogical argumentos para (4) y (5), pero en la mayoría de situaciones que bien puede ser reemplazado por cuestiones prácticas. En la práctica, una combinación de ideas a partir de (1), (2) y (3) es probable que sea tan eficaz como cualquier cosa.

Answer 2

Mis pensamientos:

• La gente que va a convertirse en profesional a los usuarios de las matemáticas avanzadas, generalmente, tienen un nivel diferente de "comprensible" que la gente que no. Francamente, si yo fuera a escribir una introducción real de análisis de libro para la gente que se podía contar para hacer cosas como tener varias definiciones equivalentes de un objeto en sus cabezas, hasta el punto de que se pueden comparar y contrastar ellos y forman una de las favoritas, el libro que produciría sería muy diferente de la real, análisis de libros de texto. Pero ese no es el mundo en el que los libros están escritos.

  Supongo que lo que estoy diciendo es que aunque usted puede sentir que es más "comprensible" para hacerlo de esa manera, sospecho que si los libros que en realidad hizo que, muchos serían desconcertado por la apertura de los conjuntos y feliz cuando llegaron a $\epsilon$$\delta$. La única gente que sería feliz en el mundo son aquellos para los cuales la elección no hace ninguna diferencia. (Esto me recuerda, un poco, de personas que tienen un favorito de conjunto de la teoría de la construcción de la $\mathbb{R}$ desde el anillo de los números naturales, con pedagógicos justificaciones para sus favoritos. Para la mayoría de las personas, de cualquier construcción de $\mathbb{R}$ a partir de cualquier cosa va a ser una gran piedra de tropiezo--- enorme, que es, en comparación con el tamaño de cualquier opción pedagógica acerca de cómo hacerlo.)

• Las otras opciones obvias para una definición de continuidad requiere la formación de una imagen mental de muy grandes conjuntos: la colección de todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$, o la colección de todas las secuencias convergentes con un límite dado. Muchas personas luchan con la conceptualización de tales grandes colecciones--- y tratar a base de pruebas de la participación de ellos en una idea equivocada de lo que es un elemento arbitrario de una colección debe "quedar". (Verás que esto no importa cuando usted habla de abrir los conjuntos.)

• En la mayoría de las escuelas, la introducción del curso de análisis real de la clase también debe adaptarse a las necesidades de los futuros maestros de K-12 en las matemáticas, y las personas cuyos trabajos futuros no va a consistir en matemáticas en todos, pero cuyas especializaciones requieren una clase de matemáticas avanzadas). Muchas de estas personas no va a ser feliz con cualquier definiciones precisas, porque las definiciones se utilizan para escribir pruebas, y no veo ningún punto en la escritura de las pruebas. La opción actual es en parte un reconocimiento de esta realidad, creo yo, porque...

• ...la $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad es quizás el más cercano de muchas posibilidades a la "intuitivo" concepción de la continuidad dada en clases de cálculo ($f$ es continua en a $c$ si se para sin embargo, estrictamente interpretar $\approx$, siempre se puede garantizar que el $f(x) \approx f(c)$ tomando $x$ lo suficientemente cerca de a $c$).

  Yo creo que, para una población de futuro a prueba de escritores, el abierto de conjuntos definición definitivamente debe hacerse más énfasis que jugar con $\epsilon$$\delta$. (Pero se puede usar nada, pero el $\epsilon$-$\delta$ definición, y aún así minimizar la cantidad de jugando con $\epsilon$$\delta$. Se trata de estilo de escritura. Yo no puedo defender el estilo de escritura de muchos análisis real de los libros de texto, pero creo que estos problemas suelen ir mucho más allá de lo que se realizan las elecciones en las definiciones).

• ¿Cómo se define un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$? Tal vez: un conjunto $G$ es abierto si para todas las $g$ $G$ hay $a$ $b$ $G$ satisfacción $a < g < b$$(a,b) \subseteq G$. OK. Para verificar a partir de un determinado subconjunto de $\mathbb{R}$ está abierto a partir de esta definición (y no desde niza teoremas acerca de los conjuntos que satisfacen las condiciones de esta definición), usted necesita para solucionar $g$'s, y producir $a$'s y $b$'s de hacer la anterior afirmación verdadera. Pero esta es una letra Romana versión de lo que usted probablemente no gusta de la $\epsilon$$\delta$.

Answer 3

Personalmente, he encontrado la definición de continuidad en términos de abrir conjuntos mucho más fácil conseguir mi cabeza alrededor de la $\varepsilon$-$\delta$-definición. De hecho, cuando yo estaba aprendiendo de este material (autodidacta de diversos textos) yo realmente no podía analizar la última definición, pero luego me encontré con la definición en términos de abrir y conjuntos que hicieron de inmediato sentido para mí, ya que era bastante estructurales. (Era una reminiscencia de un homomorphism de grupos, por ejemplo, tuvimos una cierta estructura que debía ser preservada por el mapa).

Por otro lado, siempre he encontrado algebraica de los conceptos más fácil de analítica, y no estoy seguro de que mi inuition fue perfeccionado por el subconjunto de definición; mientras que me pareció más fácil de aceptar, no sé que me dio una mejor idea de lo que un mapa continuo que realmente es.

Lo que es más, muchos estudiantes están viendo este material en una clase antes de que el aprendizaje de otras, de carácter más estructural, los conceptos matemáticos. Cuando todo es nuevo y desconocido, tener una capa más de la estructura de contemplar (en este caso, la noción de abrir conjuntos) puede hacer las cosas más opaco, más que menos; se necesita una cierta madurez en matemáticas para el diseño estructural de las definiciones y explicaciones para parecer más natural, en lugar de simplemente desconcertante.

Teniendo todo esto en conjunto, la conclusión que puedo sacar es que, probablemente, uno ha de estar expuesto a todas las diversas facetas de la continua mapas con el fin de construir una sólida técnica de la intuición: la aproximación punto de vista, expresado en términos de $\varepsilon$s y $\delta$s; el conjunto abierto punto de vista; los "desplazamientos con covergence de las secuencias de" punto de vista, y así sucesivamente. Y, entre estos, el $\varepsilon$-$\delta$ punto de vista tiene el mérito (desde un punto de vista técnico-point) de modo que se presta a los cálculos (del tipo "encontrar el $\delta$ que sirve para esta dado $\varepsilon$"), que son importantes en la formación de más sofisticada y la técnica analítica de investigaciones (tales como el mantenimiento de la pista de errores al intentar intercambio de diversos limitando los procesos).

Answer 4

Why not just introduce continuity in terms of open sets first 
(e.g. it would be a better visual representation)?

Te falta el hecho de que ni siquiera va a ser una diferente representación visual para el estudiante que comienza. Para que le enseñe acerca de bloques abiertos, y la topología de la recta real. ¿Qué es lo que va a imaginar cuando usted dice "abra"? Él va a la imagen de un intervalo abierto.

O peor, tal vez él va a ser fuerte y él será capaz de foto uniones de intervalos abiertos, en cuyo caso vas a tener que introducir la noción de una base (y reformular la continuidad en términos de las bases) con el fin de invocar el derecho de imagen mental.

Y al final, no has ganado nada-el estudiante todavía está imaginando abrir intervalos, él todavía tiene que usar $\epsilon - \delta$ argumentos, pero ahora él tiene que llevar a cabo todas estas ideas en su cabeza.

Y, la OMI, la mayoría de la idea central de análisis real (y en especial en los cálculos) es el de la aproximación -- cómo utilizar la aproximación de los esquemas de demostrar exacta verdades, cómo venir para arriba con buenas aproximaciones, y cómo combinarlos para formar otras nuevas.

El $\epsilon - \delta$ definición de continuidad es probablemente el más simple y el ejemplo más básico de esta importante idea. Si tengo una función continua, entonces siempre se puede encontrar una adecuada aproximación de un valor de salida mediante el uso de una lo suficientemente buena aproximación del valor de entrada. Por el contrario, para demostrar que una función continua, me muestran que esto es posible.

Es muy importante aprender cómo esta idea se expresa, precisamente, y para ser capaz de trabajar con ella. Incluso si usted decide enseñar a la continuidad de otra manera, vas a tener que romper hacia abajo en $\epsilon - \delta$ de todos modos, les enseñan a entender que de esta forma, realmente no captura de lo que está pasando, y cómo trabajar con él.

La idea general de conjunto abierto no capturar esta noción de aproximación de todos modos, la idea es construido en ejemplos concretos, más que el concepto general. por ejemplo, en la topología de Zariski, abrir los conjuntos no son acerca de la aproximación, pero en lugar de evitar los puntos que son soluciones a algunos ecuación polinómica. (por ejemplo, para evitar singularidades o en otros casos de borde en un argumento que está haciendo)

Answer 5

Permítanme ampliar mi comentario.

Hacia tu pregunta: creo que las tolerancias $\epsilon > 0$, y las dietas de $\delta > 0$ están las cosas, con un tamaño y por lo tanto son mucho más tangibles que abra y otros fantasmas de la topología general.

En mi opinión, el concepto básico es el de la continuidad. Una función de $f$ es continua en a $x_0$ (creo que de $x_0:=\pi$) si la introducción de un valor de $x$ cerca de $x_0$ da como resultado un valor de la función que no está lejos del valor real $f(x_0)$. Ahora, por supuesto que necesitamos un número de versión de esta idea. Uno sería feliz cuando $$|f(x)-f(x_0)| \leq |x-x_0|\ ,$$ es decir, si el error en la salida fueron en la mayoría de los tan grande como el error en la entrada, y que sería el contenido, si hay una constante $C>0$ tal que $$|f(x)-f(x_0)| \leq C\,|x-x_0|\ .$$ Al $f$ cumple tal condición se llama Lipschitz continua. Por desgracia, hay casos en los que haya continuidad en un sentido intuitivo, pero no hay tal $C$, por ejemplo, $f(x):=\sqrt{x}$$0$. Esto nos lleva a una mayor participación de definición de $\ldots$, y en y en.

Central para todos computing es el hecho de que las operaciones básicas de la aritmética en ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ son continuas. Esto es demostrado a través de simples desigualdades y tiene como consecuencia todas las reglas acerca de los límites de sumas, etc. nos enteramos más tarde.

Sobre los límites: Una función de $f$ limit $\eta$ $x \to\xi$ si la definición de $f(\xi):=\eta$ lo haría de continuo allí.