Trucos ver intuitivamente la continuidad uniforme

Question

Si uno le da una función continua $f(x)$ en un conjunto, digamos que el intervalo de $[a, b]$. ¿Hay alguna manera de rápida ver intuitivamente si $f(x)$ es uniformemente continua en $[a, b]$?

Answer 1

Siempre será uniformemente continua si $f(x)$ es continua y el intervalo de $[a,b]$ está cerrado y limitado, entonces existe un teorema que dice que $f(x)$!

Answer 2

$f$ es continua en cada una de las $x$ si para cada una de las $x$, y para cada infinitamente pequeño $dx$, la cantidad de $f(x+dx)-f(x)$ es también infinitamente pequeño. Pero $f$ es uniformemente continua en la línea real si para cada infinitamente pequeño $dx$, la diferencia de $f(x+dx)-f(x)$ es infinitamente pequeño, incluso si $x$ no es real, es decir, $x$ podría ser infinitamente cercana a un número real o $x$ podría ser infinitamente grande.

Por lo tanto, $x\mapsto\sin\frac1x$ no es uniformemente continua porque si $x$ es infinitamente cercana a $0$, un infinitamente pequeño cambio en $x$ cambio$\sin\frac1x$$1$$-1$, y la diferencia no es infinitamente pequeño. Y $x\mapsto e^x$ no es uniformemente continua porque si $x$ es infinitamente grande, $e^x$ puede aumentar por $1$ al $x$ aumenta por una infinitamente pequeña cantidad.

Todo esto es exacto en Robinson no estándar en el análisis.