Ortogonalidad de las funciones de Bessel

Question

La ortogonalidad de las funciones de Bessel se da en $\int_0 ^1 rJ_n(k_1r)J_n(k_2r) dr=0,\ (k_1 \neq k_2)\\ \neq 0, (k_1=k_2,\ J_n(k_1)=J_n(k_2)=0\ \mbox{or}\ J'_n(k_1)=J'_n(k_2)=0)$

Esto sugiere una condición particular en el % de límite $r=1$para esta ortogonalidad sostener. En caso de tenga una diversa condición límite que $J_n(k_1,k_2) \neq 0\ \mbox{and}\ J_n'(k_1,k_2) \neq 0$, ¿cómo establecer una condición de ortogonalidad para este caso? ¿Cómo podemos abordar este problema?

Answer 1

$y=J_n(kr)$ es una solución de Bessels ecuación diferencial $r^2y'' +ry'+(r^2k^2-n^2)y=0$, que puede ser reescrita como $(ry')'+(rk^2-n^2/r)y = 0$.

Si $u=J_n(ar)$$v=J_n(br)$, entonces se satisfacen las ecuaciones

$$(ru')'+(ra^2-n^2/r)u = 0$$ $$(rv')'+(rb^2-n^2/r)v = 0$$

Multiplicar la primera por $v$, el segundo por $u$ y restar ellos, y se obtiene

$$(b^2-a^2)ruv =u(rv')'-v(ru')'=(vru'-urv')'$$

La integración de este, se obtiene que

$$(b^2-a^2)\int_0^1ruvdr = \left.(vru'-urv')\right|_0^1=v(1)u'(1)-u(1)v'(1)$$

Así que si quieres el lado izquierdo para ser $0$, entonces el lado derecho debe ser$0$, así que usted debe tener $aJ_n(b)J_n'(a)=bJ_n(a)J_n'(b)$.

Esto se cumple si $J_n(a)=J_n(b)=0$ o $J_n'(a)=J_n'(b)=0$, pero también si $a J_n'(a)/J_n(a)=b J_n'(b)/J_n(b)$. De modo que la condición de contorno $y' = C y$$r=1$, también trabajo.