Resolución de ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

Question

Esta es la ecuación con la que estoy teniendo problemas:

$$\large x^{\large\log_{10}5}+5^{\large\log_{10}x}=50$$

Así que lo primero que hago es logaritmar toda la expresión con $\log_{10}$ .
Así que lo entiendo:

$ {\log_{10} 5} \times {\log_{10} x} + {\log_{10} 5} \times {\log_{10} x} = {\log_{10} 50}$

Cuando resuelva este para $x$ Lo entiendo. $x = 16$ lo cual es totalmente incorrecto porque se supone que es $100$ . ¿Puede alguien decirme qué estoy haciendo mal o mostrarme cómo resolver esta ecuación?

Answer 1

Dejemos que $y=x^{\large\log_{10}5}$ entonces $$ \log_{10}y=(\log_{10}5)(\log_{10}x)=\log_{10}5^{\large\log_{10}x}\color{red}{\quad\Rightarrow\quad} y=5^{\large\log_{10}x}. $$ Por lo tanto, \begin{align} x^{\large\log_{10}5}+5^{\large\log_{10}x}&=50\\ 5^{\large\log_{10}x}+5^{\large\log_{10}x}&=50\\ 2\times5^{\large\log_{10}x}&=50\\ 5^{\large\log_{10}x}&=25\\ 5^{\large\log_{10}x}&=5^2\color{red}{\quad\Rightarrow\quad}\log_{10}x=2\color{red}{\quad\Rightarrow\quad}\large\color{blue}{ x=10^2=100}. \end{align}

Answer 2

Tu primera acción fue mala, porque la identidad que asumiste (" $\log{a+b}=\log{a}+\log{b}$ ") simplemente no existe.

Answer 3

Si $x > 100$ Entonces: $LHS \gt 100^{log_{10}^5} + 5^{log_{10}^{100}} = \left(10^{log_{10}^5}\right)^2 + 5^2 = 5^2 + 5^2 = 50 = RHS$ ,

De manera similar, si $x < 100$ entonces $LHS < RHS$ . Así, $x$ sólo puede ser $100$ .