Cómo mostrar $1 +x + x^2/2! + \dots+ x^{2n}/(2n)!$ es positivo para $x\in\Bbb{R}$ ?

Question

Cómo mostrar $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots+ \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ es positivo para $x\in\Bbb{R}$ ?

Me doy cuenta de que es una parte de la expansión de la serie Taylor de $e^x$ ¿pero no puede proceder con este conocimiento? Además, no puedo entender el significado de $2n$ siendo el poder más elevado.

Answer 1

Por inducción, supongamos que $$f_{2n}(x)=1+x+\frac{x^2}2+\cdots\frac{x^{2n}}{(2n)!}>0.$$

Entonces la antiderivada $$f_{2n+1}(x)=1+x+\frac{x^2}2+\cdots\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ es una función creciente y tiene una sola raíz.

Entonces la antiderivada

$$f_{2n+2}(x)=1+x+\frac{x^2}2+\cdots\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}$$ tiene un único mínimo, que se produce en esta raíz, sea $r$ .

El valor del mínimo es fácil de calcular como

$$f_{2n+2}(r)=f_{2n+1}(r)+\frac{r^{2n+2}}{(2n+2)!}=0+\frac{r^{2n+2}}{(2n+2)!},$$ que es un número positivo.

Answer 2

Si utilizamos Teorema de Taylor con un resto integral nos encontramos con que:

$$ 1+x+\frac{x}{2}+\ldots+\frac{x^{2n}}{(2n)!} = e^x-\frac{1}{(2n)!}\int_{0}^{x}t^{2n}e^{x-t}\,dt \tag{1}$$ por lo que para demostrar la no negatividad del LHS basta con mostrar que: $$ \int_{0}^{x} t^{2n}e^{-t}\,dt \leq (2n)! \tag{2}$$ es válida para cualquier $x\in\mathbb{R}$ . $(2)$ es trivial si $x\leq 0$ y si asumimos $x>0$ Como la función integrante es no negativa, obtenemos: $$ \int_{0}^{x}t^{2n}e^{-t}\,dt \leq \int_{0}^{+\infty}t^{2n}e^{-t}\,dt = \Gamma(2n+1)=(2n)!,\tag{3}$$ probando nuestra reclamación.

Answer 3

Dejemos que $P_n(x)$ su polinomio. La fórmula de Taylor-Lagrange da para $x\in \mathbb{R}$ que existe $c$ tal que $\exp(x)=P_n(x)+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\exp(c)$ para algunos $c$ en función de $x$ . Supongamos ahora que existe $x\in \mathbb{R}$ tal que $P_n(x)=0$ . Obviamente, tenemos $x<0$ . Entonces $\exp(x)=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\exp(c)$ y $\exp(x-c)=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}<0$ una contradicción. Por lo tanto, $P_n(x)$ nunca es cero, y como función continua, tiene un signo constante. Como $P_n(0)=1$ hemos terminado.