¿Qué es una buena manera de calcular el $f(x) = x / (\exp(x) - 1)$?

Question

Quiero ser estable cerca de $f(0) = 1$. ¿Hay una función agradable que lo hace ya, como tal vez una función trigonométricas hiperbólica o algo como expm1, o ¿debo chequeen si $x$ está cerca de cero y luego usar una aproximación polinomial?

Answer 1

Considere la posibilidad de los números de Bernoulli, que se define por la fórmula recursiva:

$$B_0=1$$

$$\sum_{k<n} {n\choose k }B_k=0\text{ ; } n\geq 2$$

Esto le da a la secuencia:

$$\{B_n\}_{n\in \Bbb N}=\left\{ 1,-\frac 1 2,\frac 1 6 ,0,\frac 1 {30},0,\dots\right\}$$

Es la generación de la función es

$$ \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{x^n}{n!}=\frac{x}{e^x-1}$$

Sus primeros términos son

$$1-\frac x 2 +\frac {x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\cdots$$

Los números de' denominadores crecer muy rápidamente, así que usted no debe tener ningún problema con la convergencia: de hecho, la función es essentialy $=-x$ de las grandes negativo $x$ $=0$ de las grandes positivo $x$, por lo que algunos términos, debería bastar la "cerca origen" de la aproximación.

Answer 2

Si no desea utilizar el expm1() función por alguna razón, una posibilidad, detallada en el libro de Higham, es dejar que $u=\exp\,x$ y $\log\,u/(u-1)$ para calcular. El truco es atribuido a Velvel Kahan.

Answer 3

Que comentas usando funciones hiperbólicas. Usted podría tratar de $$ \frac{x}{\exp(x)-1}=\frac{x/2}{\exp(x/2)\sinh(x/2)} $$ esto no pierde ninguna precisión si $\sinh$ es computada a precisión por el sistema subyacente.

Tenga en cuenta que $\mathrm{expm1}(x)=2\exp(x/2)\sinh(x/2)$.

Ejemplo: cálculo de dígitos 15

$x=.00001415926535897932$: $$\begin{align} \frac{x}{\exp(x)-1} &=\frac{.00001415926535897932}{1.000014159365602-1}\\ &=\color{#C00000}{.9999929203}73447 \end {Alinee el} $$ $$\begin{align} \frac{x/2}{\exp(x/2)\sinh(x/2)} &=\frac{.00000707963267948966}{1.000005000012500\cdot.00000707963267954879}\\ &=\color{#C00000}{.999992920384028} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Si su sistema ofrece expm1(x) debe se han preocupado acerca de errores y estabilidad por lo menos tan bien como usted puede. Es una mejor pregunta si no está disponible. Wolfram alpha da $1-\frac {x}2+\frac {x^2}{12}$ para la segunda serie de orden alrededor de $0$, por lo que podría comprobar si $x$ está cerca de cero y usar ese.