¿Por qué la teoría de las álgebras booleanas sin átomos $\omega$ -¿Categórico?
Respuestas
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No es cierto en general que todas las álgebras booleanas sin átomos de la misma cardinalidad sean isomorfas, por lo que no esperamos $\kappa$ -y la diversidad de tales álgebras booleanas dan lugar a las distintas nociones de forzamiento.
Pero en el caso contable, resulta que sólo hay un álgebra booleana sin átomos hasta el isomorfismo. Evidentemente, hay una variedad de pruebas.
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Aquí hay una Artículo de 1972 de Abian que da una breve prueba topológica, así como una prueba detallada para el caso de anillos booleanos sin átomos.
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Este libro de Givant parece tener una explicación de la prueba utilizando la técnica de ida y vuelta, que creo que es probablemente la forma en que usted preferiría entenderla. (Aquí hay un enlace a [la versión de Google Books][3], donde puedes ver una prueba completa y totalmente detallada con ejercicios a continuación).
[3]: https://books.google.com/books?id=ORILyf8sF2sC&pg=PA134&lpg=PA134&dq=countable+atomless+Boolean+algebra&source=bl&ots=YL2jQrXiS9&sig=PTWu4vLDZO2TqSgHj_ksKjZ6oFU&hl=es&ei=fYHRTYCqKILe0QGK86yODg&sa=X&oi=book_result&ct=result#v=onepage&q=countable álgebra booleana sin átomos&f=false
Camilo Arosemena
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La respuesta que se puede dar es la siguiente:
Dejemos que $A=\{a_n:n\in \mathbb N \}$ y $B=\{b_n:n\in \mathbb N \}$ con $a_0=0=b_0$ y $a_1=1=b_1$ .
Poner $\pi(a_i)=b_i$ para $i=0,1$ .
Supongamos que hemos definido $\pi$ para la subálgebra generada por $a_0,\ldots,a_n$ de manera que $\pi$ restringida a esta subálgebra es una incrustación en $B$ . Sea $x_0,\ldots,x_m$ sean los átomos de $\langle a_0,\ldots,a_n \rangle$ .
Si $a_{n+1}\in \langle a_0,\ldots,a_n \rangle$ hemos terminado.
Supongamos ahora que $a_{n+1}\notin \langle a_0,\ldots,a_n \rangle$ , dejemos que $y_0,\ldots,y_k$ sean los átomos de $\langle a_0,\ldots,a_{n+1} \rangle$ , entonces para cada $i\leq m$ podemos encontrar $y_{i,0},\ldots,y_{i,n_i}\in \{y_0,\ldots,y_k\}$ con $y_{i,0}+\cdots+y_{i,n_i}=x_i$ . Entonces $\{y_{i,j}:i\leq m, j\leq n_i\}=\{y_0,\ldots,y_k\};$ como $\Sigma\{x_0,\ldots,x_n\}=1$ .
Desde $B$ es sin átomos, para cada $i\leq m$ podemos encontrar $w_{i,0},\ldots,w_{i,n_i}\in B$ disjuntos entre sí, de manera que $w_{i,0}+\cdots+w_{i,n_i}=\pi(x_i)$ entonces $\{w_{i,j}:i\leq m, j\leq n_i\}$ es un conjunto de elementos disjuntos de $B$ cuya suma es $1$ por lo que si definimos $\pi(y_{i,j})=w_{i,j}$ para todos $i\leq m$ y $j\leq m_i$ , $\pi$ es una incrustación en $B$ y $\pi$ es una extensión de nuestra anterior definición de $\pi$ .
Para el "cuarto" paso se intercambian los papeles de $a$ y $b$ .
