Me resulta más reveladora para ver lo que $ t^{-1} $ hace a la integral. Como una generalización del factorial, $ \Gamma $ es inherentemente multiplicativos*. Por otro lado, la integración, la cual es esencialmente una suma, es inherentemente aditivo. Pensando de esta manera parece un poco extraño que una integral podría dar una adecuada generalización. Sin embargo, no es una simple función que toma el (positivo) multiplicativo de reales a los reales en virtud de la adición: el logaritmo. El pensamiento de gamma como $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^s e^{-t} \frac{dt}{t} $$
vemos que el logaritmo natural surge de forma natural (¿cuál es la primera cosa que viene a la mente cuando usted ve $ \frac{dt}{t} \: $?) en este contexto (y no hay molestos $s-1$'s de la izquierda).
No he hecho mucho con la integración de la teoría (así que no estoy seguro de que mi terminología es correcto), pero creo que este intuitiva argumento puede ser rigurosa, considerando la fórmula integral para $ \Gamma(s) \: $ como una integral sobre el positivo de reales en virtud de la multiplicación (es decir, el intervalo de $ (0,+\infty) $ ) con respecto a la multiplicación medida de Haar.
*tenga en cuenta que por la "multiplicación" sólo quiero decir que es realizada como un producto, no es que sea un multiplicativo función aritmética ni nada de eso