Por qué no es la función gamma se define de modo que $\Gamma(n) = n! $?

Question

Como un estudiante de física, tengo de vez en cuando a través de la función gamma

$$\Gamma(n) \equiv \int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t} \textrm{d}t = (n-1)!$$

cuando queremos generalizar el concepto de factorial. ¿Por qué no definir la función gamma para que

$$\Gamma(n) = n!$$

en su lugar?

Me doy cuenta de que la definición es igual de bueno, pero si alguien iba a preguntar por mí elegir uno, elegiría la segunda opción. Hay algunas áreas de las matemáticas, donde la definición aceptada se ve más natural? Hay algunas fórmulas que trabajar más limpiamente con la definición aceptada?

Answer 1

Me resulta más reveladora para ver lo que $ t^{-1} $ hace a la integral. Como una generalización del factorial, $ \Gamma $ es inherentemente multiplicativos*. Por otro lado, la integración, la cual es esencialmente una suma, es inherentemente aditivo. Pensando de esta manera parece un poco extraño que una integral podría dar una adecuada generalización. Sin embargo, no es una simple función que toma el (positivo) multiplicativo de reales a los reales en virtud de la adición: el logaritmo. El pensamiento de gamma como $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^s e^{-t} \frac{dt}{t} $$ vemos que el logaritmo natural surge de forma natural (¿cuál es la primera cosa que viene a la mente cuando usted ve $ \frac{dt}{t} \: $?) en este contexto (y no hay molestos $s-1$'s de la izquierda).

No he hecho mucho con la integración de la teoría (así que no estoy seguro de que mi terminología es correcto), pero creo que este intuitiva argumento puede ser rigurosa, considerando la fórmula integral para $ \Gamma(s) \: $ como una integral sobre el positivo de reales en virtud de la multiplicación (es decir, el intervalo de $ (0,+\infty) $ ) con respecto a la multiplicación medida de Haar.

*tenga en cuenta que por la "multiplicación" sólo quiero decir que es realizada como un producto, no es que sea un multiplicativo función aritmética ni nada de eso

Answer 2

$$ \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx. $$ Por qué $\alpha-1$ en lugar de $\alpha$? He aquí una respuesta; probablemente hay otros. Considerar la función de densidad de probabilidad $$ f_\alpha(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{\alpha-1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha)} & \text{for }x>0 \\[12pt] 0 & \text{for }x<0 \end{casos} $$ El uso de $\alpha-1$ en lugar de $\alpha$ hace que la familia $\{f_\alpha : \alpha > 0\}$ "convolución semigroup": $$ f_\alpha * f_\beta = f_{\alpha+\beta} $$ donde el asterisco representa la convolución.

Answer 3

Una manera totalmente sencilla explicación se da en la primera sección aquí.

EDIT: Considere la posibilidad de un general de la función de densidad gamma. Es decir, una función $f(x;c,\lambda)$, $x>0$, de la forma $f(x;c,\lambda) = \lambda^c x^{c-1}e^{-\lambda x} / \Gamma(c)$ donde $c$ $\lambda$ son arbitrarias constantes positivas. La contraparte con respecto a la definición alternativa, $\tilde \Gamma (p) := \int_0^\infty {t^p e^{ - t} \,{\rm d}t}$, es una función $f(x;c,\lambda)$, $x>0$, de la forma $f(x;c,\lambda) = \lambda^{c+1} x^{c}e^{-\lambda x} / \tilde \Gamma(c)$ donde$c > -1$$\lambda > 0$. Obviamente, la forma antigua es preferible.