Determinante de una matriz sesgar-simétrica real es cuadrada de un entero

Question

Que $A$ sea una matriz sesgar-simétrica real con entradas entero. Muestran que $\operatorname{det}{A}$ cuadrada de un entero.

Esta es mi idea: si $A$ matriz sesgar-simétrico de orden impar, entonces $\operatorname{det}{A}$ es cero. Por lo tanto, tomar $A$ de orden y no singular. Puesto que todos los valores propios de $A$ son de la forma $ia$ y su conjugado (donde $a$ es número real), vemos que el $\operatorname{det}{A}$ es cuadrado de un número real. Pero no estoy recibiendo cómo mostrar es cuadrada de un entero.

Answer 1

Una prueba por la inducción se da en David J. Buontempo, el determinante de una matriz sesgar-simétrica, la Gaceta matemática, Vol. 66, no. 435, marzo de 1982, nota 66.15, páginas 67-69. Si tienes acceso a jstor, tiene aquí. La prueba no depende de la Pfaffian.

Answer 2

Para una inclinación simétrica $A$, $\det(A)={\rm pfaffian}(A)^2$ donde pfaffian es una función polinómica integral de las entradas de la matriz $A$. Para el caso de una matriz de enteros el pfaffian es por lo tanto un entero. Por lo tanto el resultado que desea.