Intercambio de límite en el infinito con límite 0

Question

Estoy tratando de calcular: $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) $$

Estoy seguro de que esto es equivalente a calcular:

$$\lim_{k\rightarrow0}\frac{\sin(k)} {k} = 1 $$

Desde $k=\dfrac{1}{x^2}$ y $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}k=0$.

¿Hay alguna manera puedo hacer esto oficial?

Answer 1

¡Su camino es perfecto!

Otra forma:

Desde $$\sin\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\varepsilon(x)$ $

donde $\varepsilon(x)\to 0$ $x\to\infty $, que obtenga %#% $ #%

Answer 2

He llegado a un argumento formal utilizando las definiciones de límites.

Desde $\lim\limits_{k\rightarrow0}\dfrac{\sin(k)}{k}=1$, para cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $\left|\dfrac{\sin(k)}{k}-1\right|<\epsilon$ todos los $|k-0|<\delta$.

Sustituyendo $\dfrac{1}{x^2}=k$:

$$ \left|\frac{\sin\left(\dfrac{1}{x^2}\right)}{\dfrac{1}{x^2}}-1\right|<\epsilon $$

para todos los $\left|\dfrac{1}{x^2}\right|<\delta \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{\delta}}<x$ (desde $\delta>0$, $x>0$).

Por lo tanto, para todos los $\epsilon>0$, $$ \left|\frac{\sin\left(\dfrac{1}{x^2}\right)}{\dfrac{1}{x^2}}-1\right|<\epsilon $$ para todos los $x>\sqrt{\dfrac{1}{\delta}}>0$ algunos $\delta>0$. Por lo tanto, por la definición de un límite en el infinito:

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(\dfrac{1}{x^2}\right)}{\dfrac{1}{x^2}}=1$$

El límite en el $-\infty$ podría estar igualmente llegó a usar la otra mitad del valor absoluto.

Answer 3

Sí, indique $$k=\frac{1}{x^{2}}$ $ entonces tenemos, $$ x^2=\frac{1}{k}$ $ $x\rightarrow\infty$, $k\rightarrow0$, $$lim_{k\rightarrow0}\frac{\sin(k)}{k}= 1$ $ ya que es perfecto!!