¿Encontrar un par (n, k) tal que $\sum_{i=1}^{n} i = \sum_{i=1}^{k} i^2$?

Question

Cómo pude encontrar todos los pares (n, k) de esta ecuación. La solución más obvia de par que puedo ver es (1, 1).
Usando la identidad de la suma, tengo:

$$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$$

Entonces pensé en utilizar fórmula cúbica de ecuación de k, pero implicó muchas variables. ¿Alguna idea?

Gracias,
Chan

Answer 1

Existen sólo dos variables. Si usted desea buscar, usted puede escribir como una cuadrática en $n$, sólo probar valores de $k$, resolver $n$ y ver si sale integral. Me parece k = 5, n = 10, k = 6, n = 13 y k = 85 n = 645 como soluciones como bien con no más bajo k = 200. OEIS tiene no más y afirma que la serie es finita. Hay referencias de esta afirmación en A053611

Answer 2

Fijar la variable $k$. Que $$k' = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$ $ entonces obtendrá la ecuación de segundo grado $$n^2+n-2k' = 0$ $ con la soluciones $$n_{1/2} = -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+2k'}.$ $ ahora puede generar sus pares de solución.