¿Por qué es tan importante la compacidad?

Question

He leído muchas veces que la "compacidad" es un concepto extremadamente importante y útil, aunque todavía no está muy claro por qué. Los únicos teoremas que he visto al respecto son el teorema de Heine-Borel y una prueba de que las funciones continuas en R a partir de subintervalos cerrados de R están acotadas. Parece una cosa muy extraña de definir; ¿por qué sería tan útil el hecho de que toda cubierta abierta admita un refinamiento finito? Especialmente porque afirmar "para cada" cubierta abierta hace que la compacidad sea un concepto que debe ser muy difícil de demostrar en general - ¿qué hace que valga la pena el esfuerzo?

Si sirve de ayuda para responder, estoy a punto de entrar en el tercer año de mi licenciatura, y llegué a preguntarme esto tras una lectura preliminar de topología introductoria, donde encontré por primera vez la definición de compacidad.

Answer 1

Como muchos han dicho, la compacidad es una especie de generalización topológica de la finitud. Y esto es cierto en un sentido profundo, porque la topología se ocupa de los conjuntos abiertos, y esto significa que a menudo "nos preocupamos por cómo se comporta algo en un conjunto abierto", y para los espacios compactos esto significa que sólo hay un número finito de comportamientos posibles.

Pero, ¿por qué es importante la finitud? Bueno, la finitud nos permite construir cosas "a mano" y los resultados constructivos son mucho más profundos, y hasta cierto punto útiles para nosotros. Además, los objetos finitos se comportan bien, así que, aunque la compacidad no es exactamente finitud, preserva gran parte de este comportamiento (porque se comporta "como un conjunto finito" para propiedades topológicas importantes) y esto significa que podemos trabajar con espacios compactos.

El punto que a menudo pasamos por alto es que dado un espacio topológico arbitrario sobre un conjunto infinito $X$ Las estructuras que se comportan bien y con las que podemos trabajar son las patologías y los casos raros. Esto ocurre en la mayor parte de las matemáticas. Es mucho menos probable que una función de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ es continua, diferenciable, continuamente diferenciable, y así sucesivamente. Y sin embargo, trabajamos mucho con estas propiedades. ¿Por qué? Porque son propiedades que se comportan bien, y podemos controlar estas construcciones y demostrar cosas interesantes sobre ellas. Los espacios compactos, al ser "pseudofinitos" por naturaleza, también se comportan bien y podemos demostrar cosas interesantes sobre ellos. Así que acaban siendo útiles por esa razón.

Answer 2

La compacidad hace por continuo funciones lo que la finitud hace con las funciones en general.

Si un conjunto $A$ es finito entonces toda función $f:A\to \mathbb R$ tiene un máximo y un mínimo, y toda función $f:A\to\mathbb R^n$ está acotado. Si $A$ es compacto, el cada continuo función de $A$ a $\mathbb R$ tiene un máximo y un mínimo y cada continuo función de $A$ a $\mathbb R^n$ está acotado.

Si $A$ es finita, entonces toda secuencia de miembros de $A$ tiene una subsecuencia que es eventualmente constante, y "eventualmente constante" es el único tipo de convergencia del que se puede hablar sin hablar de una topología en el conjunto. Si $A$ es compacta, entonces toda secuencia de miembros de $A$ tiene una subsecuencia convergente.

Answer 3

La compacidad es lo más parecido a la finitud.

Piénsalo así:

Dejemos que $A$ sea un conjunto finito, sea $f: A \to \mathbb{R}$ sea una función. Entonces $f$ está acotada trivialmente.

Ahora dejemos que $X$ sea un conjunto compacto, el conjunto $f: X \to \mathbb{R}$ sea una función continua. Entonces $f$ también está acotado...

Answer 4

Una de las razones es que la acotación no tiene sentido en un espacio topológico general. Por ejemplo $(-1, 1) \subset \mathbb{R}$ está acotado al ver $\mathbb{R}$ como un espacio métrico con la métrica euclidiana habitual, sino como espacios topológicos, $(-1, 1)$ y $\mathbb{R}$ son realmente iguales, es decir, homeomórficas.

¿Por qué entonces la compacidad? Bueno, supongo que parte de la motivación es el Teorema de Heine-Borel, que dice que un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado; o dicho de otro modo, un conjunto cerrado es compacto si y sólo si es acotado. Así que, al menos para los conjuntos cerrados, la compacidad y la acotación son lo mismo. Esta relación es útil porque ahora tenemos una noción fuertemente relacionada con la acotación que se generaliza a los espacios topológicos, a diferencia de la propia acotación. Además, al menos para los espacios topológicos de Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados. Así que una forma de pensar en los conjuntos compactos en los espacios topológicos es que son análogos a los conjuntos acotados en los espacios métricos. La analogía aquí no es exacta porque el Teorema de Heine-Borel sólo se aplica a $\mathbb{R}^n$ no todos los espacios métricos, pero espero que esto te dé alguna intuición.

Answer 5

La compacidad es importante porque:

1)Tiene un gran comportamiento cuando se utilizan operaciones topológicas

a)Es una condición que cumplen las funciones continuas sobre cualquier espacio topológico, es decir, si $C$ es compacto y $f:C \rightarrow Y$ donde $Y$ es un espacio topológico, entonces $f(C)$ es compacto en Y.

b)Un producto arbitrario de conjuntos compactos es compacto en la topología del producto.

2) Los conjuntos compactos se comportan casi como conjuntos finitos, que son mucho más fáciles de entender y trabajar que las patologías incontables que son comunes en topología.

La compacidad es útil incluso cuando surge como una propiedad de los subespacios:

3) La mayoría de los grupos topológicos a los que nos enfrentamos en matemáticas cada día son localmente compactos, por ejemplo $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ Incluso $\mathbb{Q_P}$ y $\mathbb{R_P}$ los números p-ádicos.

4) A menudo es más fácil resolver una ecuación diferencial en un dominio compacto que en uno no compacto.

5) Hay muchos tipos de convergencia de funciones, uno de los cuales es la convergencia en conjunto compacto.

6) La medida regular de Borel, una de las clases más importantes de medidas, está definida por límites de medidas en conjuntos compactos.

Esta lista está lejos de terminar...

¿Alguien se anima a participar?