¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices de un polígono regular de $n$ lados?

Question

¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices de un polígono regular de $n$ lados? ¿Y cuántos si ningún lado del polígono debe ser un lado de algún triángulo?

No tengo idea de por dónde empezar a pensar. ¿Alguien puede darme alguna idea?

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Usa Combinación o Permutación

Answer 1

Considera un polígono regular con $n$ número de vértices $\mathrm{A_1, \ A_2,\ A_3, \ A_3, \ldots , A_{n-1}}$ y $\mathrm{A_{n}}$

Número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono regular de n lados $$N=\text{número de formas de seleccionar 3 vértices de n}=\color{}{\binom{n}{3}}$$ $$N=\color{red}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}$$ $\forall \ \ \color{blue}{n\geq 3}$

Considera un lado $\mathrm{A_1A_2}$ de un polígono regular de n lados. Para obtener un triángulo con solo un lado $A_1A_2$ en común (como se muestra en la figura-1 abajo)

(figura-1)

Une los vértices $A_1$ y $A_2$ a cualquiera de los $(n-4)$ vértices es decir $A_4, \ A_5,\ A_6, \ \ldots \ A_{n-1}$ para obtener triángulos con un solo lado común. Por lo tanto hay $(n-4)$ triángulos diferentes con solo un lado $A_1A_2$ común. De manera similar, hay $(n-4)$ triángulos diferentes con solo un lado $A_2A_3$ común y así sucesivamente. Por lo tanto hay $(n-4)$ triángulos diferentes con cada uno de los $n$ lados comunes. Por lo tanto, el número de triángulos $N_1$ que tienen solo un lado común con el polígono es $$N_1=\text{(Número de triángulos correspondientes a un lado)}\text{(Número de lados)}=\color{blue}{(n-4)n}$$

(figura-2)

Ahora, une los vértices alternos $A_1$ y $A_3$ con una línea recta (azul) para obtener un triángulo $A_1A_2A_3$ con dos lados $A_1A_2$ y $A_2A_3$ comunes. De manera similar, une los vértices alternos $A_2$ y $A_4$ para obtener otro triángulo $A_2A_3A_4$ con dos lados $A_2A_3$ y $A_3A_4$ comunes y así sucesivamente (como se muestra en la figura-2 arriba). Por lo tanto hay $n$ pares de vértices alternos y consecutivos para obtener $n$ triángulos diferentes con dos lados comunes (La figura-2 de arriba muestra $n$ líneas rectas de diferentes colores para unir vértices alternos y consecutivos). Por lo tanto, el número de triángulos $N_2$ que tienen dos lados comunes con el polígono es $$N_2=\color{blue}{n}$$ Si $N_0$ es el número de triángulos que no tienen lado común con el polígono entonces tenemos $$N=N_0+N_1+N_2$$ $$N_0=N-N_1-N_2$$ $$=\binom{n}{3}-(n-4)n-n$$ $$=\color{}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-n^2+3n}$$ $$N_0=\color{red}{\frac{n(n-4)(n-5)}{6}}$$ La fórmula anterior $(N_0)$ es válida para polígonos que tienen $n$ número de lados tal que $ \ \ \color{blue}{n\geq 6}$

Answer 2

Número total de triángulos formados al unir vértices de un polígono de n lados $$= \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ es decir, la selección de 3 puntos de n puntos = n(C)3 $\implies$ también se puede escribir como la suma del número de triángulos formados en los siguientes tres casos,

1) número de triángulos con solo un lado común con el polígono, si tomamos un lado de un polígono de n lados y unimos sus vértices con los vértices restantes, excepto los vértices adyacentes a los vértices de la línea tomada anteriormente, obtenemos triángulos con solo un lado como común, es decir., para 1 lado obtenemos (n-4) triángulos $\implies$ n(n-4) triángulos para n lados. caso I
2) número de triángulos con dos lados comunes, si tomamos un lado de un polígono de n lados y unimos su vértice con el vértice opuesto se forma el triángulo requerido. Por lo tanto, el número de triángulos = n caso II

3) triángulos sin ningún lado común $$= \text{total - (Caso I + Caso II)}$$ $$=\left[\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\right]-\left[n(n-4) + n\right]$$ $$=\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$

Answer 3

El número de triángulos con dos lados en común con un polígono regular de $n$ lados es $$=\text{número de lados en el polígono}=n$$ Hay $n-4$ opciones para formar un triángulo con un lado en común con el polígono, por lo tanto el número de triángulos con un lado en común con un polígono regular de $n$ lados es $$=n(n-4)$$ El número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono regular de $n$ lados es $$=^{n}C_3$$ El número de triángulos sin ningún lado en común con un polígono regular de $n$ lados es $$=^{n}C_3-n-n(n-4)$$

Answer 4

Para resolver esto, descompongamos el problema en $3$ partes:

Parte 1:

Número total de triángulos que se pueden formar sin restricciones$=nC3$

[elegir tres puntos de $n$ puntos]

Parte 2:

Elijamos triángulos con $1$ lado en común con el polígono.

Número total de triángulos de este tipo$=nC1*(n-4)C1$

[Con $nC1$ estamos eligiendo cualquier lado del polígono (que será un lado del triángulo) y con $(n-4)C1$ estamos eligiendo el vértice del triángulo opuesto a la línea elegida. Por eso usamos $(n-4)$ como los puntos en la línea y los puntos vecinos se excluyen, porque no estamos tratando con dos lados comunes aquí]

Parte 3:

Aquí estamos eligiendo triángulos con dos lados en común con el polígono. Esto se puede hacer de $nC1$ maneras.

[Estamos eligiendo el vértice común a los dos lados comunes, lo cual se puede hacer de $nC1$ maneras.]

Entonces, si restamos la parte $2$ y $3$ de la parte $1$ obtendremos nuestro resultado deseado. Por lo tanto, el resultado final es $nC3-nC1*(n-4)C1-nC1$