Cómo puedo encontrar todas las soluciones de $\sin^5x+\cos^3x=1$

Question

Encontrar todas las soluciones de %#% $ #%

Ensayo: $$\sin^5x+\cos^3x=1$ es una solución de esta ecuación. Cómo puedo encontrar otras soluciones (si existen). Por favor ayuda.

Answer 1

Sugerencia: $ \sin^5 x\leq \sin^2 x$ y $ \cos ^3 x \leq \cos^2 x $.

Sugerencia: Identidad pitagórica para funciones trigonométricas.

Answer 2

Usar lo que sabes acerca de las magnitudes de $\sin x$ y $\cos x$.

$$\begin{aligned} \sin^5x+\cos^3x &\le |\sin^5x+\cos^3x| \\ &\le |\sin^5 x| + |\cos^3 x| \\ &\le |\sin^2 x| + |\cos^2 x| \\ &= \sin^2 x + \cos^2 x\\ &= 1 \end{alineados} $$

La desigualdad donde se cambian los exponentes se cumple sólo si los términos individuales son iguales: $\sin x$ y $\cos x$ ambos deben ser $0$ o $1$. Poner eso en la ecuación original, y te $\sin x = 1$ o $\cos x = 1$. So, $x= \frac\pi2 + 2n\pi$ or $x = 2m\pi$.

Answer 3

$\sin^5x\le \sin^2x, \cos^3x\le \cos^2x$, e $\sin^2x+\cos^2x=1$, lo $\sin^5x+\cos^3x$ puede ser igual a 1 si y sólo si $$\sin^5x=\sin^2x$$ and $$\cos^3x=\cos^2x$$, es decir, $$\sin^2x(1-\sin^3x)=0$$ and $$\cos^2x(1-\cos x)=0$$ La primera ecuación tiene solución: $x=k\pi$ o $x=\pi/2+2m\pi, k,m $ enteros.

La segunda ecuación tiene solución: $x=2n\pi$ o $x=\pi/2+p\pi, n,p$ enteros.

Por lo tanto la solución es: (i)$x=k\pi$$x=2n\pi$, o lo que es equivalente, $x=2n\pi$ para algunos entero $n$, o

(ii) $x=k\pi$ $x=\pi/2+p\pi$ (imposible), o

(iii) $x=\pi/2+2m\pi$ $x=2n\pi$ (imposible) o

(iv) $x=\pi/2+2m\pi$$x=\pi/2+p\pi$, o lo que es equivalente, $x=\pi/2+2m\pi$ para algunos entero $p$.

En conclusión, $x=2n\pi$ o $x=\pi/2+2n\pi$, $n$ enteros, son las soluciones.