¿Cómo se formulan las condiciones de contorno en un enfoque variacional?

Question

Se pueden derivar muchas ecuaciones de movimiento a partir de un principio variacional. Para dar un ejemplo simple, la ecuación de onda $h^{ij} \partial_i \partial_j u = 0$ (donde $h^{ij}$ es la métrica de Minkowski $\mathrm{diag}[-1,+1,+1,+1]$) se puede derivar a partir de la densidad lagrangiana

$L = \frac{1}{2} h^{ij} (\partial_i u) (\partial_j u)$ :

Se tiene que $\frac{\delta L}{\delta \partial_i u} = h^{ij} \partial_j u$, de donde se sigue la ecuación de movimiento a través del ansatz usual $\frac{\delta L}{\delta u} - \partial_i \frac{\delta L}{\delta \partial_i u} = 0$.

Este cálculo ignora las condiciones de contorno, lo cual no debería hacerse ya que el ansatz implica una integración por partes que tiene un término de borde. Suponiendo por ejemplo que quiero resolver la ecuación de onda en un intervalo $0 \le x \le 1$, ¿cómo impondría condiciones de contorno de Dirichlet o von Neumann?

Puedo pensar en dos enfoques:

(1) Suponer que $u$ pertenece a un espacio de funciones que ya satisface la condición de contorno. Sin embargo, esto parece complicado en general — ¿es factible?

(2) Imponer una restricción (a través de un multiplicador de Lagrange) que corresponda a la condición de contorno. Esto parece extraño porque el multiplicador viviría solo en el borde del dominio.

¿Funcionan estos enfoques? ¿Hay alguna otra manera?

Answer 1

El término de contorno al variar tu acción es $\int \delta u n^i \partial_i u$ donde $n^i$ es un vector normal unitario al contorno y la integral es sobre el contorno. Quieres que este término sea estacionario bajo la variación. Puedes lograr esto tomando $n^i \partial_i u=0$, es decir condiciones de contorno de Neumann, o puedes exigir que $u$ tenga un valor fijo en el contorno lo que requiere que solo se consideren variaciones $\delta u$ que se anulan en el contorno, es decir condiciones de contorno de Dirichlet. Ambos conducen a un principio variacional consistente.

Answer 2

Normalmente, cuando se realiza un cálculo variacional, la acción en el límite se mantiene fija. Por lo tanto, la variación en el límite es cero por definición. Tenga en cuenta que el objetivo de la técnica variacional es derivar una ecuación diferencial, es decir, una relación entre diversas tasas de cambio. Como tal, las condiciones de contorno no entran en juego.

Si es necesario imponer condiciones de contorno, hágalo al resolver la ecuación diferencial.