Resolución de la integral impropia $\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^3}$

Question

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$$

Hasta ahora he encontrado la integral indefinida, que es:

$$-\frac{1}{6} \ln |x^2-x+1|+\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{3}\ln|x+1|$$

Ahora, ¿qué necesito hacer para calcular la integral impropia?

Answer 1

Como este ha sido resuelto por un ojo de la cerradura de contorno pensé que me iba a demostrar que también se puede hacer con un trozo de contorno. Deje $$f(z) = \frac{1}{1+z^3}.$$

El sector se compone de tres partes parametrizada por $R$, la cual es real y va hasta el infinito. La primera parte $\Gamma_1$ es una línea que va de cero a $R$ a lo largo del eje real. El siguiente es un arco hacia la izquierda $\Gamma_2$, al pasar de $R$ $Re^{2i\pi/3}.$La última, a saber, $\Gamma_3$ es una línea de retorno al origen de $Re^{2i\pi/3}.$ a lo largo de la ray en el ángulo de $2i\pi/3.$

Ahora tenemos la siguiente unido a la integral a lo largo del arco: $$\left|\int_{\Gamma_2} f(z) dz\right| \le 2\pi R/3 \frac{1}{R^3-1} \en O(1/R^2) \rightarrow 0 \quad \text{como} \quad R \rightarrow\infty.$$

Además a lo largo de $\Gamma_3$ $z = te^{2i\pi/3}$ hemos $$\int_{\Gamma_3} f(z) dz = \int_R^0 \frac{1}{1+t^3 e^{2\pi}} e^{2\pi/3} dt = - e^{2\pi/3} \int_0^R \frac{1}{1+t^3} dt.$$

Ahora con $Q$ la integral que estamos buscando, por tanto, estamos en el límite $$\int_{\Gamma_1} f(z) dz = Q \quad \text{y}\quad \int_{\Gamma_3} f(z) dz = - e^{2\pi/3} P.$$

La aplicación de los residuos de Cauchy teorema de la división de contorno, se obtiene $$ Q (1 - e^{2\pi/3} ) = 2\pi i \operatorname{Res}(f(z); z = e^{i\pi/3}) $$ donde $$\operatorname{Res}(f(z); z = e^{i\pi/3}) = \lim_{z\a e^{i\pi/3}} \frac{z-e^{i\pi/3}}{1+z^3} = \lim_{z\a e^{i\pi/3}} \frac{1}{3z^2} =\frac{1}{3} e^{- 2i\pi/3}.$$ De ello se sigue que $$ Q= \frac{1}{3} 2\pi i \frac{e^{- 2i\pi/3}}{1 - e^{2\pi/3}} = \frac{1}{3}2\pi i \frac{e^{- 3i\pi/3}}{e^{-i\pi/3} - e^{i\pi/3}} = \frac{1}{3}\pi \frac{1}{\sin(\pi/3)} = \frac{1}{3}\pi \frac{2}{\sqrt 3} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.$$

Answer 2

A continuación, simplificar $$ F (x) =-\frac {1} {6} \ln|x^2-x+1|+\frac {1} {\sqrt {3}} \arctan {\frac {x-1 2} {\sqrt {3}}} + \frac {1} {3} \ln|x+1| $$ $$ = \frac {1} {\sqrt {3}} \arctan\left (\frac {x-1 2} {\sqrt {3}} \right) + \frac {1} {3} \ln|x+1|-\frac {1} {3} \ln\sqrt {| x ^ 2-x + 1 |} $$ $$ = \frac {1} {\sqrt {3}} \arctan\left (\frac {x-1 2} {\sqrt {3}} \right) + \frac {1} {3} \ln\left (\frac {| x + 1 |} {\sqrt{|x^2-x+1|}} \right). $$ % $ $$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3}=\lim_{X\rightarrow\infty}F(X)-F(0).$Calcular el límite, y ha terminado.

Answer 3

¡Otro método!

$$t=\frac{1}{1+x^3}:$$

$$\begin{aligned}\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}&=\frac{1}{3}\int_0^1 \frac{1}{t}\left(\frac{1}{t}-1\right)^{-2/3} dt\\[7pt]&=\frac{1}{3}\int_0^1 t^{-1/3}\left(1-t\right)^{-2/3}\,dt\\[7pt]&= \frac{1}{3}\text{B}\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\Gamma\left(1-\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}\csc\frac{\pi}{3}\\[7pt]&=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\end{aligned}$$

Answer 4

Para hacer la integral impropia, en realidad, es más fácil usar el teorema de los Residuos. En este caso, sin embargo, puede revertir a una de las formulaciones más complicado. Es decir, considerar la integral en el plano complejo

$$\oint_C dz \: \frac{\log{z}}{1+z^3}$$

donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno sobre el eje real positivo. A continuación, puede mostrar que

$$-i 2 \pi \int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^3} = i 2 \pi \sum \text{Res}_{z=z_k} \frac{\log{z}}{1+z^3}$$

La CARTA incluye la suma de los residuos en los polos de el integrando. En este caso, los polos están en $z=e^{i \pi/3}$, $z=e^{i \pi}$, y $z=e^{i 5 \pi/3}$. La suma de los residuos, a continuación, se convierte en

$$ \frac{i \pi/3}{3 e^{i 2 \pi/3}}+\frac{i \pi}{3}+\frac{i 5 \pi/3}{3 e^{-i 2 \pi/3}}= -\frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}} $$

La integral es entonces la negativa de este, es decir,

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^3} = \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}} $$

Answer 5

El cálculo de una integral indefinida puede ser más difícil (o más tedioso debido a un complicado antiderivada) de cálculo de una integral definida.

En este caso, podemos hacer algo más sencillo.

Deje $$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\text{d}x}{1 + x^3}$$

Hacer la sustitución $x = \dfrac{1}{t}$ (este paso debe ser justificada), y obtenemos

$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{t}{1 + t^3}\text{d}t$$

Sumando, obtenemos

$$2I = \int_{0}^{\infty} \frac{1+x}{1 + x^3} \text{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - x +1} \text{d}x$$

$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \text{d}x$$

la cual puede ser calculada fácilmente (en términos de la antiderivada!).

(A partir de una anterior respuesta aquí, donde este era un sub-paso en algo más integral: la manera más Simple de calcular una integral definida, sin tener que recurrir a fracciones parciales?)