intersección del conjunto vacío y la verdad vacía

Question

Dejemos que $\mathbb S = \varnothing$ .

Entonces, por la definición: $ \bigcap \mathbb S = \left\{{x: \forall X \in \mathbb S: x \in X}\right\}$

Considere cualquier $x \in \mathbb U$ .

Entonces, como $\mathbb S = \varnothing$ se deduce que: $\forall X \in \mathbb S: x \in X$ de la definición de la verdad vacía.

Se deduce directamente que: $\bigcap \mathbb S = \left\{{x: x \in \mathbb U}\right\}$

Eso es: $\bigcap \mathbb S = \mathbb U$ . ( http://www.proofwiki.org/wiki/Intersection_of_Empty_Set )

Proofwiki utiliza la "prueba" anterior para "demostrar" que la intersección del conjunto vacío es todo el universo.

Mi pregunta es, ¿está realmente permitido el uso de la verdad vacua en la teoría axiomática de conjuntos, como ZFC? No veo cómo se justifica el uso de la verdad vacua.

El siguiente problema que se me ocurre es que no podemos realmente "definir" los elementos del conjunto vacío (hasta donde yo sé, no hay ningún elemento en el conjunto vacío) así que ¿cómo podemos entonces demostrar como lo hizo la prueba anterior? Esto parece contradecir el uso de la verdad vacía.

Y, por supuesto, está el tema de usar todo el universo como un conjunto, y no creo que esto esté permitido.... (Tal vez la prueba de arriba está usando una teoría de conjuntos axiomática diferente, ya que estoy usando pensamientos de la mente ZF ...)

Answer 1

No hay nada de malo en la parte de la "verdad vacía" del argumento. Es perfectamente correcto que si $X$ es un conjunto cualquiera, entonces $\left\{x\in X:x\in\bigcap\varnothing\right\}=X$ . Para ver esto, observe que si $x\in X$ entonces $x\notin\bigcap\varnothing$ si y sólo si hay un $A\in\varnothing$ tal que $x\notin A$ y como no hay $A\in\varnothing$ en absoluto, este no es el caso.

El problema del argumento es que nada en $\mathsf{ZF}$ permite la formación de $\left\{x:x\in\bigcap\varnothing\right\}$ : este es un ejemplo de comprensión sin restricciones que no está permitido en $\mathsf{ZF}$ . $\mathsf{ZF}$ sólo permite una comprensión restringida, utilizando una fórmula para escoger elementos de un conjunto ya existente, no del universo en general.

Answer 2

Tu confusión sobre cómo la intersección sobre un conjunto puede dar lugar a una clase propia está justificada.

En algunos lugares la definición de la intersección está acotada, por lo que el resultado es siempre un conjunto, es decir $$\bigcap\mathcal A=\left\{x\in\bigcup\mathcal A\mid\forall A\in\mathcal A.x\in A\right\}$$

La justificación filosófica es que la intersección sobre un conjunto debe dar como resultado un conjunto, por lo que tomamos sólo elementos de $\bigcup\cal A$ que por el axioma de unión es un conjunto. El resultado sólo es diferente para el conjunto vacío, es decir, si $\cal A\neq\varnothing$ entonces podemos olvidarnos fácilmente de este límite, pero cuando $\cal A=\varnothing$ tenemos que decidir si lo hacemos o no.

Este es el equivalente teórico del conjunto $0^0$ siendo indeterminado en el análisis.

Y como comentario al margen, el argumento vacuo reside en la lógica, no en los sistemas axiomáticos.

Answer 3

Permítanme sugerir el siguiente punto de vista: supongamos $(X_{\tau})_{\tau \in I}$ es una familia de conjuntos y $I$ es su conjunto de índices. La intersección de la familia es $\bigcap\limits_{\tau \in I}X_{\tau}=\left\lbrace x:\forall \tau(\tau \in I \Rightarrow x \in X_{\tau})\right\rbrace$ . Normalmente esta definición necesita $I \ne \emptyset.$ Pero, ¿y si, no obstante, tomamos $I = \emptyset$ . Entonces la implicación en la definición se hace verdadera para cualquier $x$ . Realmente esto no es un conjunto, pero puede hacer comprensible el significado de "conjunto universal".