Últimos dígitos de números primos

Question

Un número primo no es igual a $2$ y $5$ no tienen último dígito igual a $2,4,5,6$ y $8$.

¿Es cierto que esta es la única restricción en últimos dígitos de números primos? ¿Quiero decir si es cierto que para cualquier secuencia de dígitos con el último dígito no es igual $2,4,5,6$ y $8$ allí existe un primer número dado secuencia de dígitos?

Answer 1

Creo que se olvidó de cero. Es claro que el primer número no puede tener cero como último dígito. Y si usted añade a su lista, a continuación, su declaración es verdadera.

Deje $x_1, x_2, \cdots x_n$ ser su secuencia. Tome $x = x_1 10^{n-1} + \cdots + x_n$ --- número formado por esta secuencia. A continuación, $x$ $10^n$ son coprime desde el último dígito de la $x$ es impar y no es divisible por 5. Por lo tanto, por el teorema de Dirichlet existe una infinidad de números primos $p$$p \equiv x \pmod {10^n}$. Los primos han requerido últimos dígitos.

Answer 2

No olvides que el último dígito también podría ser $0$, pero no hay ningún tipo de números primos (ya que cualquier cosa que termine en $0$ es divisible por $10$). De lo contrario, sí, esto es cierto:

Si usted tiene una cadena de dígitos finales $a_n \cdots a_1$$a_1 \neq 0,2,4,5,6,8$, entonces el número de $k = 10^{n-1} a_n + \ldots + a_1$ no es divisible por $2$ o $5$, por lo que es el primer a $10^n$. Por un célebre teorema de Dirichlet, la progresión aritmética $k, k + 10^n, k + 2 \cdot 10^n,\ldots$, a continuación, contiene infinitos números primos. Uno de estos es congruente a $k$ modulo $10^n$, que es equivalente a decir que la secuencia de los últimos $n$ dígitos es $a_n \cdots a_1$.

Answer 3

Sí, incluyendo el 0. Generalmente, $\pmod m$ el número de elt coprime a $m$ es contado por el de Euler totient función de $\phi(m)$. Estos elt son precisamente las unidades, es decir, invertible elt $\pmod m$. Aquí $\phi(10) = 4$ unidades $\{1,3,7,9\}$ por lo General, cada unidad puede ser representado por una prime - este es el famoso teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas. Estas unidades forman parte de un grupo y el estudio de esta unidad grupos juega un papel fundamental en la teoría de números y álgebra.

Answer 4

Escriben números en base $10 = 2\cdot 5$, el último dígito sólo permite para determinar Divisibilidad por factores de la base 2 y 5, indicada en $0,2,4,5,6,8$. Escoges otra base, por ejemplo, $30=2\cdot 3\cdot 5$ se podía leer además la divisibilidad por 3.

Answer 5

Hay una infinita puede restringe en dígitos del número primo. Cada uno puede deducir como sigue ( por el método de Euclides): supongamos que Usted tiene número de $S = \sum 10^i *a_i$ que es divisible por $p$. Entonces Usted tiene $S= ( \sum 10^j * b_j )*p = \sum 10^j b_j*p $ . Usted puede realizar la multiplicación y buscar otras limitantes. Así como Usted tiene los criterios de divisibilidad por 2, 4, o 5, que Le da las restricciones sobre los últimos dígitos, Usted puede construir similares criterios de divisibilidad por 13 etc. así. Es posible, que algunos de ellos Te limita de la siguiente forma:

para S>p último dígito tiene que ser en un conjunto M, donde M es subconjunto de {1,3,7}