Una pregunta sobre LCM (teoría de los números, supuestamente de nivel secundario)

Question

La pregunta es: Determinar si hay o no enteros positivos $a, b, c$ tal que: $\text{lcm}(a, b) = \text{lcm}(a + c, b + c)$ .

He intentado escribir $\text{lcm}(x,y)$ como $xy/\text{gcd}(x,y)$ pero no ha servido de nada. ¿Cómo se podría abordar este problema utilizando argumentos de divisibilidad y/o la F. T. de Aritmética?

Answer 1

Prueba por contradicción:

• asume $\text{lcm}(a,b)=\text{lcm}(a+c,b+c)=m$
• $\exists(x\in\mathbb{Z},y\in\mathbb{Z}): [m=ax=by] \land [\text{gcd}(x,y)=1]$ , ( $x$ y $y$ son coprimos)
  • si es necesario, puede demostrarlo:
  • $\text{gcd}(x,y)=1$
  • De lo contrario, $\exists(k):\frac{ki}{kj}=\frac{x}{y}$
  • ... aplicar esto a la fórmula anterior
  • y $\frac{m}{k}$ sería el "verdadero" $\text{lcm}$
• $\exists(x'\in\mathbb{Z},y'\in\mathbb{Z}): [m=(a+c)x'=(b+c)y'] \land [\text{gcd}(x',y')=1]$
• $ax=m=(a+c)x'$ , $by=m=(b+c)y'$
• $ax=ax'+cx'$ , $by=by'+cy'$
• $a(x-x')=cx'$ , $b(y-y')=cy'$
• $a\frac{x-x'}{x'}=c$ , $b\frac{y-y'}{y'}=c$
• $c=a\frac{x-x'}{x'}=b\frac{y-y'}{y'}$ ...esto se parece a la fórmula original...
• pero $\frac{x-x'}{x'} \ne x$ , $\frac{y-y'}{y'} \ne y$ si $x,y,x',y'$ son todos enteros
• contradicción

Answer 2

En primer lugar, afirmamos que $a \nmid b$ ya que si no es así, entonces $\text{lcm}(a,b)=b <\text{lcm}(a+c,b+c)$ para cualquier $c$ . Entonces se deduce que $b \nmid a$ por simetría.

Definimos $k$ para que $k=\text{lcm}(a,b)$ por lo que existen algunos $e_1$ y $e_2$ para que $a \cdot e_1 = k$ y $b \cdot e_2 = k$ . Supongamos que existe un $c$ para que $\text{lcm}(a+c,b+c)=k$ . Entonces existen algunas $d_1$ y $d_2$ para que $(a + c) \cdot d_1 = k$ y $(b+c) \cdot d_2 = k$ así que $(a \cdot d_1) + (c \cdot d_1) = k$ (* ) y $(b \cdot d_2) + (c \cdot d_2) = k$ (** ). Ahora bien, es evidente que $d_1<e_1$ y $d_2<e_2$ (porque $c \cdot d_1 > 0$ y $c \cdot d_2 > 0$ ) por lo que obtenemos $d_1 | e_1$ y $d_2 | e_2$ (porque $k$ sólo puede ser factorizado de una manera; aquí es donde entra el TLC), por lo que $d_1 | (k/a)$ y $d_2 | (k/b) $ por lo que podemos definir nuevos números $m_1$ y $m_2$ para que $d_1 \cdot m_1 = k/a$ y $d_2 \cdot m_2 = k/b$ . Introduciendo esto en (* ) y (** ) obtenemos $k / m_1 + c \cdot k / (m_1 \cdot a) = k \iff 1 / m_1 + c / (m_1 \cdot a) = 1$ y análogamente obtenemos $1 / m_2 + c / (m_2 \cdot b) = 1$ lo que da lugar a las siguientes ecuaciones:

i) $b+c=m_2 \cdot b$

ii) $a+c=m_1 \cdot a$ .

La ecuación ii) nos da que $c=(m_1-1)a$ por lo que, introduciendo esto en la ecuación i), obtenemos $b+(m_1-1)a = m_1 * b \iff a/b=(m_2-1)/(m_1-1)$ lo que contradice que $b \nmid a$ . Por lo tanto, nuestra suposición sobre $c$ era falso por lo que hemos demostrado por contradicción que los enteros $a,b,c$ no existen tal y como se describen. Q.e.d.